Esercizio su matrici $A^n$
Ciao,
ho una matrice $ A=((cosx,-sinx),(sinx,cosx))$ e mi si chiede di calcolare la matrice $A^n$ per ogni n.
Ho provato a vedere se vi fosse nelle prime 3 potenze una ricorrenza così da andare per induzione. Ma mi vengono matrici spropositate. Deve esserci qualche trick che mi sfugge (salvo errori di calcolo).
Qualcuno saprebbe quale è il trucchetto per trovarla?
ho una matrice $ A=((cosx,-sinx),(sinx,cosx))$ e mi si chiede di calcolare la matrice $A^n$ per ogni n.
Ho provato a vedere se vi fosse nelle prime 3 potenze una ricorrenza così da andare per induzione. Ma mi vengono matrici spropositate. Deve esserci qualche trick che mi sfugge (salvo errori di calcolo).
Qualcuno saprebbe quale è il trucchetto per trovarla?
Risposte
La parola magica è r_t_z_o_e (riempi gli spazi mancanti).
Devo dire che è proposto prima di aver affrontato quella parte di programma, ma ho spulciato "rotazione". A grandi linee ho capito come funziona (ma più avanti la vedrò meglio, dovendoci tornare nelle lezioni). Tuttavia non so bene come sfruttarla per calcolare "per ogni n" XD
Se applichi $n$ volte una rotazione di un angolo $theta$ trovi una rotazione di angolo $n theta$.
Comunque si potrebbe calcolare $A^n$ anche in un altro modo (che funziona per matrici diagonalizzabili): diagonalizzi $A$ trovando $M^(-1)AM=D$ diagonale, poi deduci che $A=MDM^(-1)$ e fai $A^n = M D^n M^(-1)$, che è facile da calcolare perché $D$ è diagonale.
Comunque si potrebbe calcolare $A^n$ anche in un altro modo (che funziona per matrici diagonalizzabili): diagonalizzi $A$ trovando $M^(-1)AM=D$ diagonale, poi deduci che $A=MDM^(-1)$ e fai $A^n = M D^n M^(-1)$, che è facile da calcolare perché $D$ è diagonale.
"Martino":
Se applichi $n$ volte una rotazione di un angolo $theta$ trovi una rotazione di angolo $n theta$.
Sì, certo su quello ci sono. Però non capivo come esprimerla in modo esplicito. Cioè come scrivere la matrice definitiva e valida per ogni n e teta (che racchiudesse cioè tutti i casi possibili e immaginabili).
Comunque si potrebbe calcolare $A^n$ anche in un altro modo (che funziona per matrici diagonalizzabili): diagonalizzi $A$ trovando $M^(-1)AM=D$ diagonale, poi deduci che $A=MDM^(-1)$ e fai $A^n = M D^n M^(-1)$, che è facile da calcolare perché $D$ è diagonale.
Interessante, non ci avrei mai pensato
"serafinon":Basta che al posto di $x$ metti $nx$.
Sì, certo su quello ci sono. Però non capivo come esprimerla in modo esplicito. Cioè come scrivere la matrice definitiva e valida per ogni n e teta (che racchiudesse cioè tutti i casi possibili e immaginabili).
Immaginavo la risposta fosse quella, però nei conti non mi veniva e quindi pensavo fosse errato.
Probabilmente mi sto imbrogliando in qualcosa di stupido, ma il dubbio mi sorgeva perché anche moltiplicando per se stessa (quella matrice) 2 o 3 volte sarei dovuto tornare ad avere (nx) come argomento come dici tu. Mi stupiva il fatto che non mi tornasse per n=2,3... probabilmente allora ho fatto errori di conto (non mi sono spinto oltre n=3 ovviamente).
Probabilmente mi sto imbrogliando in qualcosa di stupido, ma il dubbio mi sorgeva perché anche moltiplicando per se stessa (quella matrice) 2 o 3 volte sarei dovuto tornare ad avere (nx) come argomento come dici tu. Mi stupiva il fatto che non mi tornasse per n=2,3... probabilmente allora ho fatto errori di conto (non mi sono spinto oltre n=3 ovviamente).
Come fa a non tornare per $n=2$?
Ricorda che
$cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)$
$sin(2x)=2 sin(x) cos(x)$
Ricorda che
$cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)$
$sin(2x)=2 sin(x) cos(x)$
Ho trovato una svista scema e non riuscivo a vederla.
Ora ci sono, grazie mille
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