Matrice R^n,n nilpotente
ciao, vorrei proporvi un dubbio:
1) Per il primo punto ho pensato di sfruttare quanto segue e vorrei chiedervi se funziona secondo voi:
$det(A^k)=(detA)^k=>[det(A^k)=0<=>(detA)^k=0<=>detA=0]$
Data l hp di nilpotenza: $det(A^k)=det(0_RR^(n,n))=0$ e per quanto detto sopra quindi $det(A^k)=det(0_RR^(n,n))=0=>(det(A))^k=0=>detA=0$ e la nullità del determinante ne garantisce la non invertibilità.
E' giusto? Potrebbe funzionare?
2) Per il secondo punto non ho idee valide perché ogni prova col determinante non mi dà grandi idee:
$det((I-A)^k)=(det(I-A))^k$ ok però poco utile... come accipicchia si dimostra?
Grazie.
Una matrice A ∈ Rn,n si dice nilpotente se esiste k ∈ N tale che Ak = 0.
- Scrivere esempi di matrici nilpotenti;
- Provare che
A nilpotente =⇒ A non invertibile
(*) Provare che
A nilpotente =⇒ In − A invertibile
1) Per il primo punto ho pensato di sfruttare quanto segue e vorrei chiedervi se funziona secondo voi:
$det(A^k)=(detA)^k=>[det(A^k)=0<=>(detA)^k=0<=>detA=0]$
Data l hp di nilpotenza: $det(A^k)=det(0_RR^(n,n))=0$ e per quanto detto sopra quindi $det(A^k)=det(0_RR^(n,n))=0=>(det(A))^k=0=>detA=0$ e la nullità del determinante ne garantisce la non invertibilità.
E' giusto? Potrebbe funzionare?
2) Per il secondo punto non ho idee valide perché ogni prova col determinante non mi dà grandi idee:
$det((I-A)^k)=(det(I-A))^k$ ok però poco utile... come accipicchia si dimostra?
Grazie.
Risposte
Il punto 1 va bene, per il 2 ti suggerisco di trovare un polinomio $P(X)$ tale che $X^n-1 = (X-1)P(X)$.
"Martino":
$P(X)$ tale che $X^n-1 = (X-1)P(X)$.
Buona idea, domani ci provo che ora sono un po' cotto. Ti ringrazio tanto per l'aiuto.
Nel frattempo posso chiederti come ti è venuto in mente (cioè un processo per arrivare a questa idea)? Certe volte mi stupisco delle idee furbe che non mi vengono mai
Conoscevo già l'esercizio 
Ah beh, allora complimenti per la memoria! 
Allora: mi sembra che...
$(x^n-1)=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x+1)=x^n+n^(n-1)+x^(n-2)+...+x^3+x^2+1-x^(n-1)-x^(n-2)-...-x$ e quindi mi si annullano quelle potenze che non mi servono.
detto ciò specializzando al nostro esercizio:
$det(A^n-I)=det((0_R^(n,n))-I)!=0=det(A-1)det(A^(n-1)+....+1)$
Dunque per la negazione della legge di annullamento del prodotto $a*b=0 <=>a=0 or b=0$ si ha: $a*b!=0 <=>a!=0 and b!=0$
detti $a:=det(A-1)$ e $b:=det(A^(n-1)+....+1)$ ne deduciamo che $det(A-1)!=0$ che ne garantisce l'invertibilità. Giusto?
PS: oh no mi sono accorto solo ora che la richiesta era (I-A) e non (A-I) avevo proseguito sul tuo spunto senza guardare che i segni erano invertiti, ma insomma l'idea è la medesima direi
Allora: mi sembra che...
$(x^n-1)=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x+1)=x^n+n^(n-1)+x^(n-2)+...+x^3+x^2+1-x^(n-1)-x^(n-2)-...-x$ e quindi mi si annullano quelle potenze che non mi servono.
detto ciò specializzando al nostro esercizio:
$det(A^n-I)=det((0_R^(n,n))-I)!=0=det(A-1)det(A^(n-1)+....+1)$
Dunque per la negazione della legge di annullamento del prodotto $a*b=0 <=>a=0 or b=0$ si ha: $a*b!=0 <=>a!=0 and b!=0$
detti $a:=det(A-1)$ e $b:=det(A^(n-1)+....+1)$ ne deduciamo che $det(A-1)!=0$ che ne garantisce l'invertibilità. Giusto?
PS: oh no mi sono accorto solo ora che la richiesta era (I-A) e non (A-I) avevo proseguito sul tuo spunto senza guardare che i segni erano invertiti, ma insomma l'idea è la medesima direi
Sì è giusto ma ti piace proprio questo determinante. Non serve usare il determinante. Siccome $1-X^n = (1-X)P(X)$, se $A^n=0$ sostituendo otteniamo $1=(1-A)P(A)$ quindi $1-A$ è invertibile, la sua inversa è $P(A)$.
Hai ragione era molto più facile usare la definizione stessa di invertibile.
Effettivamente ho fatto molti esercizi in cui non riuscivo mai a usare il determinante, e questo mi ha portato ad usarlo troppo ora: vedo determinanti ovunque XD.
era molto più facile usare la definizione stessa di invertibile.Effettivamente ho fatto molti esercizi in cui non riuscivo mai a usare il determinante, e questo mi ha portato ad usarlo troppo ora: vedo determinanti ovunque XD.
Prova a risolvere l'esercizio 1 senza usare il determinante.
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