Spazi totalmente sconnessi, T1 e T2
Ciao a tutti,
Studiando topologia mi è sorto un dubbio:
$X$ Spazio topologico si dice totalmente sconnesso se ${x}$ è una componente connessa $AAx$.
Il libro dice che uno spazio totalmente sconnesso è T1, e fin qui tutto ok (se ${x}$ è una componente connessa allora è chiuso perchè le componenti connesse sono sempre chiuse), ma poi aggiunge che non per forza è anche T2 (spazio di Hausdorff).
Allora mi chiedo, vale il viceversa? cioè: gli spazi di Hausdorff sono totalmente sconnessi?
Quali sono le proprietà più nel completo di questi spazi di Hausdorff? Perchè dalla definizione non riesco intuitivamente a ricavare chissà che.
Grazie
Studiando topologia mi è sorto un dubbio:
$X$ Spazio topologico si dice totalmente sconnesso se ${x}$ è una componente connessa $AAx$.
Il libro dice che uno spazio totalmente sconnesso è T1, e fin qui tutto ok (se ${x}$ è una componente connessa allora è chiuso perchè le componenti connesse sono sempre chiuse), ma poi aggiunge che non per forza è anche T2 (spazio di Hausdorff).
Allora mi chiedo, vale il viceversa? cioè: gli spazi di Hausdorff sono totalmente sconnessi?
Quali sono le proprietà più nel completo di questi spazi di Hausdorff? Perchè dalla definizione non riesco intuitivamente a ricavare chissà che.
Grazie
Risposte
Ammetto che c'ero quasi arrivato da me...
Sull'insieme \(\displaystyle X=\mathbb{Z}\cup\{-\infty,+\infty\}\) definisco i seguenti insiemi aperti:
[list=a]
[*:1mgbchci]\(\displaystyle\emptyset,X\),[/*:m:1mgbchci]
[*:1mgbchci]i sottoinsiemi di \(\displaystyle\mathbb{Z}\),[/*:m:1mgbchci]
[*:1mgbchci]\(\displaystyle\{-\infty\}\cup C_-\) e \(\displaystyle\{+\infty\}\cup C_+\) con \(\displaystyle C_-,C_+\subsetneqq\mathbb{Z}\) cofiniti.[/*:m:1mgbchci][/list:o:1mgbchci]
Con tale topologia \(\displaystyle X\) è uno spazio totalmente disconnesso ma non \(\displaystyle T_2\)!
P.S.: io ragionavo con \(\displaystyle\mathbb{Z}\cup\{\infty\}\)...
Sull'insieme \(\displaystyle X=\mathbb{Z}\cup\{-\infty,+\infty\}\) definisco i seguenti insiemi aperti:
[list=a]
[*:1mgbchci]\(\displaystyle\emptyset,X\),[/*:m:1mgbchci]
[*:1mgbchci]i sottoinsiemi di \(\displaystyle\mathbb{Z}\),[/*:m:1mgbchci]
[*:1mgbchci]\(\displaystyle\{-\infty\}\cup C_-\) e \(\displaystyle\{+\infty\}\cup C_+\) con \(\displaystyle C_-,C_+\subsetneqq\mathbb{Z}\) cofiniti.[/*:m:1mgbchci][/list:o:1mgbchci]
Con tale topologia \(\displaystyle X\) è uno spazio totalmente disconnesso ma non \(\displaystyle T_2\)!
P.S.: io ragionavo con \(\displaystyle\mathbb{Z}\cup\{\infty\}\)...
Oppure la compattificazione di Alexandroff di $QQ$.
"ProPatria":Certo che no, per esempio riesci a pensare ad uno spazio di Hausdorff connesso? (Non è difficile)
Allora mi chiedo, vale il viceversa? cioè: gli spazi di Hausdorff sono totalmente sconnessi?
"j18eos":
Ammetto che c'ero quasi arrivato da me...
Sull'insieme \(\displaystyle X=\mathbb{Z}\cup\{-\infty,+\infty\}\) definisco i seguenti insiemi aperti:
[list=a]
[*:3gbbtgui]\(\displaystyle\emptyset,X\),[/*:m:3gbbtgui]
[*:3gbbtgui]i sottoinsiemi di \(\displaystyle\mathbb{Z}\),[/*:m:3gbbtgui]
[*:3gbbtgui]\(\displaystyle\{-\infty\}\cup C_-\) e \(\displaystyle\{+\infty\}\cup C_+\) con \(\displaystyle C_-,C_+\subsetneqq\mathbb{Z}\) cofiniti.[/*:m:3gbbtgui][/list:o:3gbbtgui]
Con tale topologia \(\displaystyle X\) è uno spazio totalmente disconnesso ma non \(\displaystyle T_2\)!
P.S.: io ragionavo con \(\displaystyle\mathbb{Z}\cup\{\infty\}\)...
Grazie! Anche il mio libro riporta questo esempio ma ora è più chiaro!
"Martino":Certo che no, per esempio riesci a pensare ad uno spazio di Hausdorff connesso? (Non è difficile)[/quote]
[quote="ProPatria"]Allora mi chiedo, vale il viceversa? cioè: gli spazi di Hausdorff sono totalmente sconnessi?
Ora che ci penso è ovvio, R con la topologia euclidea non è totalmente sconnesso ma è Hausdorff...
"otta96":
Oppure la compattificazione di Alexandroff di $ QQ $.
Di che si tratta??
"ProPatria":
[quote="otta96"]Oppure la compattificazione di Alexandroff di $ QQ $.
Di che si tratta??[/quote]
Di questo.
"otta96":
[quote="ProPatria"][quote="otta96"]Oppure la compattificazione di Alexandroff di $ QQ $.
Di che si tratta??[/quote]
Di questo.[/quote]
Bellissimo...
Quindi la compattificazione di Alexandrov di $QQ$ (suppongo tu dia per scontato $QQ$ con la topologia euclidea indotta da $RR$) sarebbe uno spazio omeomorfo alla circonferenza $S^1$ fatta di soli numeri razionali?
In altre parole la retta razionale con i due estremi "uniti".
Però a me uno spazio del genere sembra Hausdorff...
Infatti non è quello, non è nemmeno compatto, è una roba più complicata.
Un esempio di spazio topologico totalmente disconneso ma \(T_2\) è \(\mathbb{R}\) con la topologia di Sorgenfrey: m'ero dimenticato di scriverlo...
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