Esercizio proiezione vettori in V3
Ciao, ho un esercizio che mi sta facendo uscire pazzo per quanto stupido sia non mi viene
Riporto inoltre il mio svolgimento perché vorrei capire cosa non vada bene:
Ho pensato di proiettare $x*u_n=3$ questo perché usando il prdotto scalare e indicando con $u_n$ il versore di $u$ cioè: $(u*u)/||u||=1/sqrt2(1,1,0)$ avrei la componente su $u$ del vettore proiettato sul piano [u,v]
Ottenendo $1/sqrt2(x_1,x_2,0)$
In modo identico calcolo $x*v_n=3$ con $v_n=(v*v)/||v||=1/sqrt2(1,1,0)$.
Ottenendo $1/sqrt2(0,x_2,x_3)$
E mettendo a sistema i due risultati ottenuto ho: $(x,3sqrt2-x,x+sqrt2)$
La soluzione del testo è: $x = (3 + λ , 7 − λ , 4 + λ ), λ ∈ R$, se confronto la mia soluzione con quella del testo noto che non possono tornare infatti ho
. mio caso: $lambda(1,-1,1)+(1,3*sqrt2,sqrt2)$
. caso del testo: $lambda(1,-1,1)+(3,4,7)$ e la traslazione del testo essendo (3,4,7) non potrà mai coincidere con la mia.
Quindi vi prego, ditemi cosa diamine sbaglio?
Dati i vettori $u = (1, 1, 0)$, $v = (0, 1, 1)$, determinare i vettori x tali che la loro
proiezione ortogonale sul piano vettoriale individuato da u e v sia il vettore 3u + 4v
Riporto inoltre il mio svolgimento perché vorrei capire cosa non vada bene:
Ho pensato di proiettare $x*u_n=3$ questo perché usando il prdotto scalare e indicando con $u_n$ il versore di $u$ cioè: $(u*u)/||u||=1/sqrt2(1,1,0)$ avrei la componente su $u$ del vettore proiettato sul piano [u,v]
Ottenendo $1/sqrt2(x_1,x_2,0)$
In modo identico calcolo $x*v_n=3$ con $v_n=(v*v)/||v||=1/sqrt2(1,1,0)$.
Ottenendo $1/sqrt2(0,x_2,x_3)$
E mettendo a sistema i due risultati ottenuto ho: $(x,3sqrt2-x,x+sqrt2)$
La soluzione del testo è: $x = (3 + λ , 7 − λ , 4 + λ ), λ ∈ R$, se confronto la mia soluzione con quella del testo noto che non possono tornare infatti ho
. mio caso: $lambda(1,-1,1)+(1,3*sqrt2,sqrt2)$
. caso del testo: $lambda(1,-1,1)+(3,4,7)$ e la traslazione del testo essendo (3,4,7) non potrà mai coincidere con la mia.
Quindi vi prego, ditemi cosa diamine sbaglio?
Risposte
I vettori [tex]\vec{u},\vec{v}[/tex] formano una base (non ortogonale) nel piano, completala a una base nello spazio aggiungendo il vettore [tex]\vec{w}:=\vec{u}\wedge\vec{v}[/tex] ([tex]\wedge[/tex] indica il prodotto vettore). I vettori [tex]\vec{x}[/tex] rispetto a questa base avranno coordinate [tex](3,4,\lambda)^t[/tex] (quelle nel piano sono determinate dai dati del problema mentre quella nella direzione ortogonale al piano individuato dai vettori [tex]\vec{u},\vec{v}[/tex] rimane incognita)
sostituisci le coordinate dei vettori rispetto alla base canonica ([tex]\vec{u}=(1,1,0)^t[/tex], etc.) e trovi le coordinate di [tex]\vec{x}[/tex].
[tex]\vec{x}=3\vec{u}+4\vec{v}+\lambda\vec{w},\quad\lambda\in\mathbb{R},[/tex]
sostituisci le coordinate dei vettori rispetto alla base canonica ([tex]\vec{u}=(1,1,0)^t[/tex], etc.) e trovi le coordinate di [tex]\vec{x}[/tex].
Ora provo a ragionare sui tuoi consigli, tuttavia potrei chiederti cosa non funziona del mio?
Perché a me sembra corretto e non capisco fldavvero dove sia l'errore e vorrei capirlo perché sono così non ripeterei lo sbaglio e avrei davvero capito
Perché a me sembra corretto e non capisco fldavvero dove sia l'errore e vorrei capirlo perché sono così non ripeterei lo sbaglio e avrei davvero capito
Ok credo il mio metodo non funzioni perché non sono base ortogonale del piano u,v; funzionerebbe se fossero ortogonali invece il mio metodo. Corretto?
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