Basi e prebasi euclidee
Quali delle seguenti famiglie di sottoinsiemi di $RR$ sono una base o una prebase della topologia euclidea di $RR$?
(1) ${(x_0-epsilon, x_0+epsilon) | epsilonin(0, +infty)}$ con $x_0inRR$ fissato
(2) ${(x-epsilon_0, x+epsilon_0) | x inRR}$ con $epsilon_0in(0, +infty)$ fissato
(3) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, +infty)}$
(4) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, 3)}$
(5) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, 3)nnQQ}$
(6) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inQQ, epsilonin(0, 3)nnQQ}$
(7) ${(x-1/n,x+1/n)|x inRR,ninNN^+}$
(8) ${(x-r_n, x + r_n) | x inRR, ninNN}$ dove $(r_n)$ è una successione di numeri reali positivi tali che $i nf_n$ $r_n = 0$
(9) ${(-infty, a) | ainRR} ∪ {(a, +infty) | ainRR}$
Mi chiedevo come potessi mostrare se fossero delle basi della topologia euclidea, se mostro che ogni elemento della base euclidea ${(a,b)|a,binRR}$ si scrive come unione di elementi di una famiglia di sottoinsiemi allora quella famiglia è una base della topologia euclidea? Oppure come posso capire che alcune di esse siano basi della topologia euclidea?
(1) ${(x_0-epsilon, x_0+epsilon) | epsilonin(0, +infty)}$ con $x_0inRR$ fissato
(2) ${(x-epsilon_0, x+epsilon_0) | x inRR}$ con $epsilon_0in(0, +infty)$ fissato
(3) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, +infty)}$
(4) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, 3)}$
(5) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, 3)nnQQ}$
(6) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inQQ, epsilonin(0, 3)nnQQ}$
(7) ${(x-1/n,x+1/n)|x inRR,ninNN^+}$
(8) ${(x-r_n, x + r_n) | x inRR, ninNN}$ dove $(r_n)$ è una successione di numeri reali positivi tali che $i nf_n$ $r_n = 0$
(9) ${(-infty, a) | ainRR} ∪ {(a, +infty) | ainRR}$
Mi chiedevo come potessi mostrare se fossero delle basi della topologia euclidea, se mostro che ogni elemento della base euclidea ${(a,b)|a,binRR}$ si scrive come unione di elementi di una famiglia di sottoinsiemi allora quella famiglia è una base della topologia euclidea? Oppure come posso capire che alcune di esse siano basi della topologia euclidea?
Risposte
Beh dai non è difficile, basta usare le definizioni. Prova a scrivere i tuoi ragionamenti. Ti aiuto: la (1) non è né una base né una prebase perché qualsiasi insieme di quel tipo (e anche qualsiasi intersezione finita di insiemi di quel tipo) contiene $x_0$, e ovviamente esistono aperti di $RR$ che non contengono $x_0$. Invece la (4) è una base (quindi anche una prebase) praticamente per definizione di topologia euclidea. La (9) non è una base ma è una prebase (perché?).
"Martino":
Beh dai non è difficile, basta usare le definizioni. Prova a scrivere i tuoi ragionamenti. Ti aiuto: la (1) non è né una base né una prebase perché qualsiasi insieme di quel tipo (e anche qualsiasi intersezione finita di insiemi di quel tipo) contiene $x_0$, e ovviamente esistono aperti di $RR$ che non contengono $x_0$. Invece la (4) è una base (quindi anche una prebase) praticamente per definizione di topologia euclidea. La (9) non è una base ma è una prebase (perché?).
Allora dovrebbe essere così:
Basi: (3),(4),(5),(6),(7),(8)
Solo Prebasi (che non sono basi): (2),(9)
(lo dimostro dopo, intanto volevo sapere se era giusto)
Per definizione di topologia euclidea intendi il fatto che sia generata dagli intervalli aperti oppure altro?
"andreadel1988":Sì è giusto.
intanto volevo sapere se era giusto
intendi il fatto che sia generata dagli intervalli apertiNon so cosa intendi con "generata". Intendo dire che ti basta usare il fatto che gli intervalli aperti del tipo $(a,b)$ formano una base della topologia euclidea. Quindi per mostrare che una certa famiglia $B$ è una base devi prendere un qualsiasi intervallo aperto del tipo $(a,b)$ e un qualsiasi $x in (a,b)$ e dimostrare che esiste $U in B$ tale che $x in U subseteq (a,b)$.
Allora faccio la dimostrazione:
(2) La famiglia delle intersezioni finite di $ {(x-epsilon_0, x+epsilon_0) | x inRR} $ con $ epsilon_0in(0, +infty) $ fissato è $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR,epsilonin(0,epsilon_0)} $, mostriamo che questa è una base della topologia euclidea:
siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, poniamo $epsilon<=min{abs(x-a),abs(x-b),epsilon_0/2}$, si ha che $x in(x-epsilon,x+epsilon)sube(a,b)$ con $epsilonin(0,epsilon_0)$ quindi $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0,epsilon_0)} $ è una base della topologia euclidea.
(3) Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, poniamo $epsilon<=min{abs(x-a),abs(x-b)}$, si ha che $x in(x-epsilon,x+epsilon)sube(a,b)$ con $ epsilonin(0, +infty) $, per cui $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, +infty)} $ è una base della topologia euclidea.
(4) E' un caso particolare della seconda parte della dimostrazione di (3) usando $epsilon_0=3$, per cui è una base della topologia euclidea.
Consideriamo questa affermazione:
(*) Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, per densità di $QQ$ in $RR$ abbiamo che $EEq_1inQQ$ e $EEq_2inQQ$ tali che $q_1in(0,abs(x-a))$ e $q_2in(0,abs(b-x))$.
(5) Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, usando (*) poniamo $epsilon=min{q_1,q_2,2}$, si ha che $x in(x-epsilon,x+epsilon)sube(a,b)$ con $ epsilonin(0, 3)nnQQ$ per cui $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, 3)nnQQ} $ è una base della topologia euclidea.
(6) Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, se $x inQQ$ allora procedo come in (5). Se $xnotinQQ$ per densità di $QQ$ in $RR$ abbiamo che $EEx_1inQQ$ tale che $x_1in(x-min{2,(x-a)/2},x)$, usando (*) con $x_1$ poniamo $epsilon=min{q_1,q_2,2}$ si ha che $x in(x_1-epsilon,x_1+epsilon)sube(a,b)$ con $x_1inQQ$ e $ epsilonin(0, 3)nnQQ$, per cui $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inQQ, epsilonin(0, 3)nnQQ} $ è una base della topologia euclidea.
(7) E' un caso particolare di (8)
(8)Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, poichè $i nf_nr_n=0$ allora $AAepsilon>0$ $EE\barninNN$ tale che $r_{\bar n}
(2) La famiglia delle intersezioni finite di $ {(x-epsilon_0, x+epsilon_0) | x inRR} $ con $ epsilon_0in(0, +infty) $ fissato è $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR,epsilonin(0,epsilon_0)} $, mostriamo che questa è una base della topologia euclidea:
siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, poniamo $epsilon<=min{abs(x-a),abs(x-b),epsilon_0/2}$, si ha che $x in(x-epsilon,x+epsilon)sube(a,b)$ con $epsilonin(0,epsilon_0)$ quindi $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0,epsilon_0)} $ è una base della topologia euclidea.
(3) Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, poniamo $epsilon<=min{abs(x-a),abs(x-b)}$, si ha che $x in(x-epsilon,x+epsilon)sube(a,b)$ con $ epsilonin(0, +infty) $, per cui $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, +infty)} $ è una base della topologia euclidea.
(4) E' un caso particolare della seconda parte della dimostrazione di (3) usando $epsilon_0=3$, per cui è una base della topologia euclidea.
Consideriamo questa affermazione:
(*) Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, per densità di $QQ$ in $RR$ abbiamo che $EEq_1inQQ$ e $EEq_2inQQ$ tali che $q_1in(0,abs(x-a))$ e $q_2in(0,abs(b-x))$.
(5) Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, usando (*) poniamo $epsilon=min{q_1,q_2,2}$, si ha che $x in(x-epsilon,x+epsilon)sube(a,b)$ con $ epsilonin(0, 3)nnQQ$ per cui $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, 3)nnQQ} $ è una base della topologia euclidea.
(6) Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, se $x inQQ$ allora procedo come in (5). Se $xnotinQQ$ per densità di $QQ$ in $RR$ abbiamo che $EEx_1inQQ$ tale che $x_1in(x-min{2,(x-a)/2},x)$, usando (*) con $x_1$ poniamo $epsilon=min{q_1,q_2,2}$ si ha che $x in(x_1-epsilon,x_1+epsilon)sube(a,b)$ con $x_1inQQ$ e $ epsilonin(0, 3)nnQQ$, per cui $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inQQ, epsilonin(0, 3)nnQQ} $ è una base della topologia euclidea.
(7) E' un caso particolare di (8)
(8)Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, poichè $i nf_nr_n=0$ allora $AAepsilon>0$ $EE\barninNN$ tale che $r_{\bar n}
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