Basi e prebasi euclidee

Angus1956
Quali delle seguenti famiglie di sottoinsiemi di $RR$ sono una base o una prebase della topologia euclidea di $RR$?

(1) ${(x_0-epsilon, x_0+epsilon) | epsilonin(0, +infty)}$ con $x_0inRR$ fissato
(2) ${(x-epsilon_0, x+epsilon_0) | x inRR}$ con $epsilon_0in(0, +infty)$ fissato
(3) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, +infty)}$
(4) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, 3)}$
(5) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, 3)nnQQ}$
(6) ${(x-epsilon, x+epsilon) | x inQQ, epsilonin(0, 3)nnQQ}$
(7) ${(x-1/n,x+1/n)|x inRR,ninNN^+}$
(8) ${(x-r_n, x + r_n) | x inRR, ninNN}$ dove $(r_n)$ è una successione di numeri reali positivi tali che $i nf_n$ $r_n = 0$
(9) ${(-infty, a) | ainRR} ∪ {(a, +infty) | ainRR}$

Mi chiedevo come potessi mostrare se fossero delle basi della topologia euclidea, se mostro che ogni elemento della base euclidea ${(a,b)|a,binRR}$ si scrive come unione di elementi di una famiglia di sottoinsiemi allora quella famiglia è una base della topologia euclidea? Oppure come posso capire che alcune di esse siano basi della topologia euclidea?

Risposte
Martino
Beh dai non è difficile, basta usare le definizioni. Prova a scrivere i tuoi ragionamenti. Ti aiuto: la (1) non è né una base né una prebase perché qualsiasi insieme di quel tipo (e anche qualsiasi intersezione finita di insiemi di quel tipo) contiene $x_0$, e ovviamente esistono aperti di $RR$ che non contengono $x_0$. Invece la (4) è una base (quindi anche una prebase) praticamente per definizione di topologia euclidea. La (9) non è una base ma è una prebase (perché?).

Angus1956
"Martino":
Beh dai non è difficile, basta usare le definizioni. Prova a scrivere i tuoi ragionamenti. Ti aiuto: la (1) non è né una base né una prebase perché qualsiasi insieme di quel tipo (e anche qualsiasi intersezione finita di insiemi di quel tipo) contiene $x_0$, e ovviamente esistono aperti di $RR$ che non contengono $x_0$. Invece la (4) è una base (quindi anche una prebase) praticamente per definizione di topologia euclidea. La (9) non è una base ma è una prebase (perché?).

Allora dovrebbe essere così:
Basi: (3),(4),(5),(6),(7),(8)
Solo Prebasi (che non sono basi): (2),(9)
(lo dimostro dopo, intanto volevo sapere se era giusto)
Per definizione di topologia euclidea intendi il fatto che sia generata dagli intervalli aperti oppure altro?

Martino
"andreadel1988":
intanto volevo sapere se era giusto
Sì è giusto.
intendi il fatto che sia generata dagli intervalli aperti
Non so cosa intendi con "generata". Intendo dire che ti basta usare il fatto che gli intervalli aperti del tipo $(a,b)$ formano una base della topologia euclidea. Quindi per mostrare che una certa famiglia $B$ è una base devi prendere un qualsiasi intervallo aperto del tipo $(a,b)$ e un qualsiasi $x in (a,b)$ e dimostrare che esiste $U in B$ tale che $x in U subseteq (a,b)$.

Angus1956
Allora faccio la dimostrazione:
(2) La famiglia delle intersezioni finite di $ {(x-epsilon_0, x+epsilon_0) | x inRR} $ con $ epsilon_0in(0, +infty) $ fissato è $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR,epsilonin(0,epsilon_0)} $, mostriamo che questa è una base della topologia euclidea:
siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, poniamo $epsilon<=min{abs(x-a),abs(x-b),epsilon_0/2}$, si ha che $x in(x-epsilon,x+epsilon)sube(a,b)$ con $epsilonin(0,epsilon_0)$ quindi $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0,epsilon_0)} $ è una base della topologia euclidea.
(3) Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, poniamo $epsilon<=min{abs(x-a),abs(x-b)}$, si ha che $x in(x-epsilon,x+epsilon)sube(a,b)$ con $ epsilonin(0, +infty) $, per cui $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, +infty)} $ è una base della topologia euclidea.
(4) E' un caso particolare della seconda parte della dimostrazione di (3) usando $epsilon_0=3$, per cui è una base della topologia euclidea.

Consideriamo questa affermazione:
(*) Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, per densità di $QQ$ in $RR$ abbiamo che $EEq_1inQQ$ e $EEq_2inQQ$ tali che $q_1in(0,abs(x-a))$ e $q_2in(0,abs(b-x))$.

(5) Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, usando (*) poniamo $epsilon=min{q_1,q_2,2}$, si ha che $x in(x-epsilon,x+epsilon)sube(a,b)$ con $ epsilonin(0, 3)nnQQ$ per cui $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inRR, epsilonin(0, 3)nnQQ} $ è una base della topologia euclidea.
(6) Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, se $x inQQ$ allora procedo come in (5). Se $xnotinQQ$ per densità di $QQ$ in $RR$ abbiamo che $EEx_1inQQ$ tale che $x_1in(x-min{2,(x-a)/2},x)$, usando (*) con $x_1$ poniamo $epsilon=min{q_1,q_2,2}$ si ha che $x in(x_1-epsilon,x_1+epsilon)sube(a,b)$ con $x_1inQQ$ e $ epsilonin(0, 3)nnQQ$, per cui $ {(x-epsilon, x+epsilon) | x inQQ, epsilonin(0, 3)nnQQ} $ è una base della topologia euclidea.
(7) E' un caso particolare di (8)
(8)Siano $a,binRR$ e sia $x in(a,b)$, poichè $i nf_nr_n=0$ allora $AAepsilon>0$ $EE\barninNN$ tale che $r_{\bar n} (9) La famiglia delle intersezioni finite di $ {(-infty, a) | ainRR} ∪ {(a, +infty) | ainRR} $ è ${∅, RR}uu{(-infty, a) | ainRR} ∪ {(a, +infty) | ainRR}uu{(a, b) | a, binRR, a < b}$ e quest'ultimo contiene la base della topologia euclidea ${(a,b)|a,binRR}$ per cui anche esso è una base.

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