Funzione continua su $[0,1]$

[Angus1956]

Se $f:[0, 1]->[0,+infty)$ è una funzione continua tale che $f(1)=0$, allora si provi che esiste $tin[0,1]$ tale che $f(t)=t$.
Volevo dimostrarlo in modo topologico però più semplicemente mi è venuto da fare cosi: supponiamo per assurdo che $f(t)=t$ per il teorema degli zeri avrei la tesi), ma allora $f(0)<0$ , che è assurdo poichè il codominio di $f$ è $[0,+infty)$. Non so se sia rigorosa e dimostrazione, ma sopratutto mi stupisce che si trovava come esercizio di topologia sulla connessione. Qualcuno sa dirmi?

[otta96]

Va bene, è un esercizio sulla connessione perchè il teorema degli zeri è un teorema sulla connessione.

[Angus1956]

"otta96":Va bene, è un esercizio sulla connessione perchè il teorema degli zeri è un teorema sulla connessione.

Ah, come si dimostra il teorema degli zeri con la connessione?

[gugo82]

Il teorema degli zeri è equivalente al teorema dei valori intermedi che, in soldoni, topologicamente vuol dire che le funzioni continue di $RR$ in sé trasformano connessi (cioè intervalli) in connessi (cioè intervalli).

Inoltre, proprio il teorema degli zeri può essere usato per dare una dimostrazione della proposizione che citi.

Considera la funzione ausiliaria $varphi(t) := f(t) - t$ definita in $[0,1]$. Essa è ovviamente continua ed ha $varphi(0) = f(0) >= 0$ e $varphi(1) = -1 <0$.
Se $f(0) = 0$, basta prendere $t_0=0$; se $f(0) >0$, si prende un $t_0$ che viene dal teorema degli zeri.

[Angus1956]

Si ho ragionato come hai fatto, tu solo che appunto volevo sapere come funzionasse il teorema degli zeri con la connessione come mi ha accennato @otta96.

[Angus1956]

Forse questa dimostrazione è più topologica:
Consideriamo $g(x)=f(x)-x:[0,1]->[-1,+infty)$ abbiamo che è continua (differenza di funzioni continue) per cui siccome $[0,1]$ è connesso allora $g($ $[0,1]$ $)$ è connesso e quindi un intervallo, inoltre $1,f(0)ing($ $[0,1]$ $)$ per cui per definizione di intervallo $0in[-1,f(0)]subeg($ $[0,1]$ $)$ per cui $0ing($ $[0,1]$ $)$ ovvero $EEx in[0,1]$ tale che $0=g(x)=f(x)-x$ da cui $f(x)=x$.