Un secondo esercizio sullo span e iperpiano
Volevo chiedere una mano dopo un esercizio per cui ho avuto aiuto da un utente del forum. In particolare ho questo esercizio molto simile a mio avviso ma vorrei vedere se si puo risolvere in modo differente:
In R$^4$ scrivere le equazioni di due iperpiani vettoriali diversi, ma entrambi supplementari della retta vettoriale $H = Span((2, 0, 4, 3))$
Ricordando la definizione di supplementari per il mio prof. ossia dovrei trovare due sottospazi $W_1$ e $W_2$ di $R^4$ t.c. $H+W_1$ e $H+W_2$ siano in somma diretta e siano le somme pari a tutto $R^4$
Io ho trovato una soluzione ma sempre per tentativi e per quanto mi sforzi non mi viene in mente un algoritmo per giungere alla soluzione. Come potrei fare?
Anche qui forse conviene fare un giochetto sfruttando l'ortogonalità? Oppure c'è un modo senza sfruttare l'ortogonalità?
Grazie ancora
In R$^4$ scrivere le equazioni di due iperpiani vettoriali diversi, ma entrambi supplementari della retta vettoriale $H = Span((2, 0, 4, 3))$
Ricordando la definizione di supplementari per il mio prof. ossia dovrei trovare due sottospazi $W_1$ e $W_2$ di $R^4$ t.c. $H+W_1$ e $H+W_2$ siano in somma diretta e siano le somme pari a tutto $R^4$
Io ho trovato una soluzione ma sempre per tentativi e per quanto mi sforzi non mi viene in mente un algoritmo per giungere alla soluzione. Come potrei fare?
Anche qui forse conviene fare un giochetto sfruttando l'ortogonalità? Oppure c'è un modo senza sfruttare l'ortogonalità?
Grazie ancora
Risposte
Usa due basi diverse di \(\mathbb{R}^4\), ed applica il metodo degli scarti successivi!
Enjoy it!
Enjoy it!
Ciao, grazie per la risposta.
Il tuo suggerimento mi porta però a un dubbio, vediamo se riesco a risolverlo. Tu suggerisci di trovare una base di R4 e unendola al vettore in questione (dato dal testo come generatore di H) estrarre poi una base.
Faccio un caso semplice per far capire il mio dubbio: se prendo la base canonica e1, e2, e3, e4 posso estrarre come base: $(2,0,4,3); (1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,1,0)$ (quindi scarto e4 e introduco il primo vettore nella nuova base).
Quindi l'iperpiano cercato sarà dato dall span di: $W=Span((1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,1,0))$
Fin qua mi pare ok.
[Ricordo che dal testo $H:=Span(2, 0, 4, 3)$]
Ora il dubbio (teorico): io so che due spazi sono supplementari se e solo se l'interesezione è nulla, quindi W intersecato H è solo il vettore nullo, noi però nel tuo suggerimento abbiamo sfruttato SOLO il fatto che $(2,0, 4, 3)$ è linearmente indipendente a due a due con: $(1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,0,1)$ senza andare a mostrare che ci sia intersezione banale tra W e H.
Mi chiedevo quindi: ma c'è un legame tra la lineare indipendenza dei vettori che generano W e quello che genera H con il fatto che ho intersezione solo banale tra W e H? Direi di sì, dato che sfrutto solo la L.I. => somma diretta e questo => W intersecato H ={0} (per forza di cose), ma non riesco onestamente a vedere il legame quale sia perché nella teoria non ho parlato di questa proprietà.
Sapresti aiutarmi gentilmente?
Ti ringrazio.
Il tuo suggerimento mi porta però a un dubbio, vediamo se riesco a risolverlo. Tu suggerisci di trovare una base di R4 e unendola al vettore in questione (dato dal testo come generatore di H) estrarre poi una base.
Faccio un caso semplice per far capire il mio dubbio: se prendo la base canonica e1, e2, e3, e4 posso estrarre come base: $(2,0,4,3); (1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,1,0)$ (quindi scarto e4 e introduco il primo vettore nella nuova base).
Quindi l'iperpiano cercato sarà dato dall span di: $W=Span((1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,1,0))$
Fin qua mi pare ok.
[Ricordo che dal testo $H:=Span(2, 0, 4, 3)$]
Ora il dubbio (teorico): io so che due spazi sono supplementari se e solo se l'interesezione è nulla, quindi W intersecato H è solo il vettore nullo, noi però nel tuo suggerimento abbiamo sfruttato SOLO il fatto che $(2,0, 4, 3)$ è linearmente indipendente a due a due con: $(1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,0,1)$ senza andare a mostrare che ci sia intersezione banale tra W e H.
Mi chiedevo quindi: ma c'è un legame tra la lineare indipendenza dei vettori che generano W e quello che genera H con il fatto che ho intersezione solo banale tra W e H? Direi di sì, dato che sfrutto solo la L.I. => somma diretta e questo => W intersecato H ={0} (per forza di cose), ma non riesco onestamente a vedere il legame quale sia perché nella teoria non ho parlato di questa proprietà.
Sapresti aiutarmi gentilmente?
Ti ringrazio.
Veramente devi controllare che tutti i vettori siano l.i.; non puoi controllare "a due a due"!
...e non ti è stato spiegato che le implicazioni che tu hai riportato sono coimplicazioni?
...e non ti è stato spiegato che le implicazioni che tu hai riportato sono coimplicazioni?
Mi sembrava inutile andare a ritestare la lineare indipendenza degli altri tre tra loro, dato che è una base di $RR^4$ rimangono L-I anche dopo! Sarebbe uno spreco di tempo riprovare ancora che sono L.I.
L'importante è che (2,0,4,3) lo sia con loro no?
Per il resto si, mi manca questo fatto come dicevo (altrimeni non l'avrei chiesto XD): c'è un legame tra la lineare indipendenza dei vettori che generano W e quello che genera H con il fatto che ho intersezione solo banale tra W e H?
Come si mostra che se sono L.I allora ho intersezione banale (e come dici tu il viceversa: biimplicazione)? Potresti gentilmente mostrarmelo?
Non ho mai affrontato un teorema del genere
L'importante è che (2,0,4,3) lo sia con loro no?
Per il resto si, mi manca questo fatto come dicevo (altrimeni non l'avrei chiesto XD): c'è un legame tra la lineare indipendenza dei vettori che generano W e quello che genera H con il fatto che ho intersezione solo banale tra W e H?
Come si mostra che se sono L.I allora ho intersezione banale (e come dici tu il viceversa: biimplicazione)? Potresti gentilmente mostrarmelo?
Non ho mai affrontato un teorema del genere
"gungunkaaan":Penso che sia tutto contenuto nella dimostrazione dell'equivalenza tra le definizioni 3.3.1 e 3.3.3 di queste mie note!
[...] Mi chiedevo quindi: ma c'è un legame tra la lineare indipendenza dei vettori che generano W e quello che genera H con il fatto che ho intersezione solo banale tra W e H? Direi di sì, dato che sfrutto solo la L.I. => somma diretta e questo => W intersecato H ={0} (per forza di cose), ma non riesco onestamente a vedere il legame quale sia perché nella teoria non ho parlato di questa proprietà. [...]
"gungunkaaan":Sì, e lo devi dimostrare
[...]L'importante è che (2,0,4,3) lo sia con loro no?[...]
sempreché tu non l'abbia già fatto senza pubblicare la verifica!
Veramente devi controllare che tutti i vettori siano l.i.; non puoi controllare "a due a due"!
Ah ok, allora avevo frainteso questo consiglio, mi pareva che dicessi di riverificarli per tutti.
No, ovviamente non avevo scritto tutto lo sviluppo ma avevo preso la base canonica che quindi ha vettori L.I tra loro poi unita quella con (2,0,4,3) ho estratto la base di cui parlavo verificando che (2,0,4,3) era di volta in volta L.I ai restanti.
Per il resto ho letto le tue note, però siccome usi una notazione un po' diversa da quella del mio prof e anche siccome vedo che alcune cose sono invertite nell'eunuciare e definire alcune cose volevo chiederti conferma di aver ben capito.
In sostanza nel teorema da te indicato dimostri in prima battuta che $0$ lo posso scrivere come $0v_1+....+0v_n$ ma siccome per la proprietà dello spazio "soma diretta" ho che la scrittura è unica ho che gli scalari componenti sono tutti zeri => ho lineare indipendenza per definizione di L.I (intesa come C.L di scalari tutti nulli).
Viceversa suppongo due scritture distinte di un vettore dello spazio somma diretta e mostro che dato che i vettori vi sono L.I devo per foza avere che le componenti delle due scritture coincidono => ho unicità di scruttura => ho somma diretta.
Quindi quando scrivo un vettore come sua somma diretta sono linearmente indipendenti.
Tutto corretto, eccetto
Pensaci un po'...
"gungunkaaan":Quando consideri un vettore in una somma diretta, questi lo puoi scrivere univocamente come c.l. di vettori "appartenenti" ad ogni sottospazio vettoriale in somma diretta!
[...] Quindi quando scrivo un vettore come sua somma diretta sono linearmente indipendenti.
Pensaci un po'...
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