Polinomi a coefficienti complessi in $n$ indeterminate

[Angus1956]

Sia $FinCC[x_1,..., x_n]$ un polinomio a coefficienti complessi in $n$ indeterminate. Allora la funzione $CC^n->CC$ definita da $(z_1,..., z_n)-> F(z_1,..., z_n)$ è continua.

Diamo per vero (senza dimostrarlo) che preso $GinRR[x_1,..., x_n]$ un polinomio a coefficienti reali in $n$ indeterminate, la funzione $RR^n->RR$ definita da $(x_1,..., x_n)->G(x_1,..., x_n)$ è continua.

Dato che $F$ e ha coefficienti complessi e ce lo andiamo a calcolare sui numeri complessi (che sono della forma $z=x+iy$ con $x,yinRR$) allora il polinomio possiamo riscrivercelo come $F(z_1,..., z_n)=F(x_1+iy_1,..., x_n+iy_n)=p_{Re}(x_1,...,x_n)+ip_{Im}(y_1,...,y_n)$ dove $p_{Re}(x)$ e $p_{Im}(x)$ sono due polinomi a coefficienti reali in $n$ indeterminate che andiamo a calcolare su valori reali. Quindi per quanto detto prima $p_{Re}(x)$ e $p_{Im}(x)$ sono funzioni continue e quindi $F$ è una funzione continua.

[megas_archon]

Si può fare in modo molto più chiaro e molto più generale: se $R$ è un anello topologico, le operazioni di somma e moltiplicazione sono continue; del resto, una funzione polinomiale è una composizione di un numero finito di funzioni di questo tipo, e quindi è continua.

Più precisamente, una funzione polinomiale si può definire induttivamente chiedendo che

- le funzioni costanti \(R\to R:x\mapsto c\) siano polinomi;
- la moltiplicazione \(X\mapsto a X\) per un fissato \(a\in R\) sia un polinomio;
- l'elevamento a un esponente naturale \(X\mapsto X^n = X\cdot X\dots X\) sia un polinomio;
- la somma di due polinomi, e il loro prodotto di Cauchy, siano polinomi.

Ora, ciascuna di queste funzioni che "generano" l'anello delle funzioni polinomiali su $R$ è continua rispetto alla topologia prodotto su \(R^n\) verso $R$ (e in effetti puoi dedurre la continuità di \(p+q\) e di \(p\cdot q\) da quella di \(p,q\)), e quindi, per induzione strutturale, ogni polinomio definito su un anello topologico dà luogo a una funzione continua.

Nota che, come conseguenza del fatto che la composizione di funzioni continue è continua, ottieni automaticamente che la sostituzione di un polinomio \(p\) in un polinomio \(q\), ovvero la composizione di funzioni polinomiali, è continua

[Angus1956]

Un anello topologico sarebbe un anello dotato di una topologia giusto?
Comunque io avevo provato a dimsotrarlo generalemente per la proposizione:

Sia $GinRR[x_1,..., x_n]$ un polinomio a coefficienti reali in $n$ indeterminate, la funzione $RR^n->RR$ definita da $(x_1,..., x_n)->G(x_1,..., x_n)$ è continua.

E poi volevo usare questo per mostrare anche in $CC$ senza però diver rifare tutto il ragionamento da capo che avevo fatto con $RR$ ma se vuoi te lo dico per $RR$ (se ti va di starmi a sentire ahahah)

[megas_archon]

1. No, un anello topologico è un anello, con una topologia, tale che le operazioni di anello siano continue. La topologia di Furstenberg rende \(\mathbb Z\) un anello topologico, la topologia di Sorgenfrey su $RR$ no.

2. La mia dimostrazione è molto migliore della tua: nella mia, i numeri complessi non giocano alcun ruolo, e infatti quello che devi dimostrare è un fatto generale:

Sia $R$ un anello topologico e $I$ un insieme. Allora esiste un ovvio omomorfismo di anelli
\[\begin{CD}
\Upsilon : R[X_i\mid i\in I] @>>> Set(R^I,R)
\end{CD}\] dove a dominio c'è l'anello dei polinomi in tante indeterminate quanti sono gli elementi di $I$, cioè la $R$-algebra libera sull'insieme $I$, e a codominio l'insieme delle funzioni \(R^I=\prod_{i\in I} R\to R\). Tale \(\Upsilon\) è unicamente definita, mediante la proprietà universale di \(R[X_i\mid i\in I]\), dal fatto che \(\Upsilon( X_i) = \pi_i\), cioè che l'immagine della $i$-esima indeterminata sia la proiezione sull'$i$-esimo fattore.

Allora, \(\Upsilon\) fattorizza lungo \(Top(R^I,R)\), quando su \(R^I\) si mette la topologia prodotto indotta da quella di $R$:
\[\begin{CD}
\Upsilon = R[X_i\mid i\in I] @>\bar\Upsilon>> Top(R^I,R) @>incl.>> Set(R^I,R)
\end{CD}\]