Un esercizio su span

[gungunkaaan]

Sialve,
approdo qui per cercare un aiuto su un esercizio che è il seguente (in realtà è solo una delle tante richieste dell'esercizio originale) ma qui vorrei chiedere un aiuto.
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Ho W2 = L (e, f, g)
dove
e = (−1, 1, 5, 4), f = (0, 3, −2, 1), g = (2, 7, −16, −5).

8. Trovare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale W3 di R4 tale che
W2 ⊕ W3 = R4
__________________________________________________________________________________________


Sono riuscito a trovare la dimensione tramite grassman che era semplice, tuttavia non mi vengono metodi furbi alla mente per trovare una base per W3.

Sono andato a tentativi e ho euristicamente dedotto che potrebbe essere una: W3 = L ((0, 1, 5, 0), (0, 0, 2, 0))

Però mi chiedevo come poter fare a trovarla con un metodo più intelligente delle semplici prove. C'è un modo?

Ringrazio molto

[Quinzio]

Si che esiste.
Devi risolvere il sistema

$((\bb e),(\bb f)) \bb h' = \bb 0$

che vuol dire

$( ( −1, 1, 5, 4 ),( 0, 3, −2, 1 ) ) ( (h_1),(h_2),(h_3),(h_4)) = ((0),(0))$

cioe' trovare un terzo vettore che sia ortogonale agli altri due.

Infine per trovare il quarto

$((\bb e),(\bb f),(\bb h)) \bb i' = \bb 0$

[gungunkaaan]

Ok buona idea sfruttare l'ortogonalità che implica lineare indipendenza degli altri due.

C'è pero una cosa che volevo chiederti:
- dal primo dei due trovo h vettore che avra due parametri liberi 4-2 incognite.
- quando svolgo il secondo sistema avrò e,f,h e troverò un vettore i che avrà un parametro libero ancora 4-3.

Però così ho 2 parametri liberi del primo sistema che si mescolano con questo ulteriore paramentro libero del secondo sistema. Quindi in sostanza posso giocare con 3 parametri liberi?
Cioè scelgo due del primo vettore h e poi uno libero del secondo che scelgo dopo aver fissato i primi due.

E' corretto? Ti ringrazio.

[Quinzio]

"gungunkaaan":Ok buona idea sfruttare l'ortogonalità che implica lineare indipendenza degli altri due.

C'è pero una cosa che volevo chiederti:
- dal primo dei due trovo h vettore che avra due parametri liberi 4-2 incognite.
- quando svolgo il secondo sistema avrò e,f,h e troverò un vettore i che avrà un parametro libero ancora 4-3.

Però così ho 2 parametri liberi del primo sistema che si mescolano con questo ulteriore paramentro libero del secondo sistema. Quindi in sostanza posso giocare con 3 parametri liberi?
Cioè scelgo due del primo vettore h e poi uno libero del secondo che scelgo dopo aver fissato i primi due.

E' corretto? Ti ringrazio.

Quando risolvi il primo sistema hai una soluzione con 2 parametri liberi.
Come li scegli ? A piacere.
Il tuo obbiettivo era di trovare un vettore ortogonale agli altri due.
Qualunque scelta dei parametri va bene (tranne 0,0 altrimenti hai il vettore nullo.)
Di solito per semplificarsi la vita, si puo' assegnare 1,0 ai due parametri.

Poi risolvi il secondo sistema, che avra' un parametro libero.
Che valore dai al parametro ? Quello che vuoi. Tranne zero.
E cosi' hai costruito una base.

L"obbiettivo finale e' che se metti i 4 vettori in una matrice 4x4, il rango deve essere pieno (4).

[gungunkaaan]

Perfetto, era proprio quello che intendevo nel mio scritto, grazie per la conferma!
Gentilix!