Incollamento di funzioni
Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici e sia ${X_i}_{iinI}$ un ricoprimento di $X$. Per ogni $iinI$ sia data una funzione $f_i: X_i->Y$. Se per ogni coppia di indici $i, jinI$ vale $f_{i_{|_{X_i nnX_j} }} = f_{j_{|_{X_i nnX_j} }}$ allora esiste una funzione $f:X->Y$ tale che per ogni $iinI$ $f_{|_{X_i} }= f_i$.
Definiamo la corrispondenza fra insiemi $f:X->Y$ tale che per ogni $iinI$ $f_{|_{X_i} }= f_i$, mostriamo che è una funzione. Mostriamo intanto che per ogni $x inX$ esiste almeno un valore in $Y$ a cui $x$ è associato tramite $f$. Sia $x inX$, siccome ${X_i}_{iinI}$ è un ricoprimento di $X$ allora $EEiinI$ tale che $x inX_i$ ma allora $f(x)=f_{|_{X_i} }(x)= f_i(x)$ e siccome $f_i$ è una funzione $AAiinI$ allora ad $x$ è associato almeno a un valore di $y$. Ora rimane da mostrare che per ogni $x inX$ il valore di $Y$ associato a $x$ tramite $f$ è unico. Sui singoli insiemi $X_i$ per ogni $iinI$ $f$ è ben definita come funzione poichè uguale a $f_i$ che è una funzione, rimane quindi da controllare che se $x$ appartiene a più insiemi $X_i$, assuma lo stesso valore su ognuno di essi. Per ipotesi per ogni coppia di indici $i, jinI$ vale $f_{i_{|_{X_i nnX_j} }} = f_{j_{|_{X_i nnX_j} }}$, quindi induttivamente preso $ninNN,n>=1$ e $X_{i_1},...,X_{i_n}$ vale che $f_{i_{1_{|_{X_{i_1}nn...nnX_{i_n}}}}} =....=f_{i_{n_{|_{X_{i_1}nn...nnX_{i_n}}}}} $, per cui se $x inX_{i_1}nn...nnX_{i_n}$ allora $f(x)=f_{i_1}(x)=...=f_{i_n}(x)$, quindi $f$ è una funzione
Definiamo la corrispondenza fra insiemi $f:X->Y$ tale che per ogni $iinI$ $f_{|_{X_i} }= f_i$, mostriamo che è una funzione. Mostriamo intanto che per ogni $x inX$ esiste almeno un valore in $Y$ a cui $x$ è associato tramite $f$. Sia $x inX$, siccome ${X_i}_{iinI}$ è un ricoprimento di $X$ allora $EEiinI$ tale che $x inX_i$ ma allora $f(x)=f_{|_{X_i} }(x)= f_i(x)$ e siccome $f_i$ è una funzione $AAiinI$ allora ad $x$ è associato almeno a un valore di $y$. Ora rimane da mostrare che per ogni $x inX$ il valore di $Y$ associato a $x$ tramite $f$ è unico. Sui singoli insiemi $X_i$ per ogni $iinI$ $f$ è ben definita come funzione poichè uguale a $f_i$ che è una funzione, rimane quindi da controllare che se $x$ appartiene a più insiemi $X_i$, assuma lo stesso valore su ognuno di essi. Per ipotesi per ogni coppia di indici $i, jinI$ vale $f_{i_{|_{X_i nnX_j} }} = f_{j_{|_{X_i nnX_j} }}$, quindi induttivamente preso $ninNN,n>=1$ e $X_{i_1},...,X_{i_n}$ vale che $f_{i_{1_{|_{X_{i_1}nn...nnX_{i_n}}}}} =....=f_{i_{n_{|_{X_{i_1}nn...nnX_{i_n}}}}} $, per cui se $x inX_{i_1}nn...nnX_{i_n}$ allora $f(x)=f_{i_1}(x)=...=f_{i_n}(x)$, quindi $f$ è una funzione
Risposte
Detto altrimenti, il prefascio delle funzioni (eventualmente, continue) verso Y su uno spazio topologico X è un fascio.
Cos'è che non capisci, ora?
Cos'è che non capisci, ora?
"megas_archon":
Detto altrimenti, il prefascio delle funzioni (eventualmente, continue) verso Y su uno spazio topologico X è un fascio.
Cos'è che non capisci, ora?
Il prefascio sarebbero le funzioni $ f_i: X_i->Y $ mentre il fascio $ f:X->Y $?
Ma no, il prefascio $C_Y$ è il funtore che manda un aperto \(U\subseteq X\) nell'insieme delle funzioni \(U\to Y\). Tu stai verificando l'assioma di fascio, cioè il fatto che il diagramma
\[FU \to \prod_{i\in I} F(U_i) \underset{r}{\overset{l}\rightrightarrows} \prod_{ij\in I} F(U_i\cap U_j)\](dove \(l,r\) sono definite mediante le funzioni di restrizione) è un equalizzatore, su \(U=X\), cioè sulle sue sezioni globali.
\[FU \to \prod_{i\in I} F(U_i) \underset{r}{\overset{l}\rightrightarrows} \prod_{ij\in I} F(U_i\cap U_j)\](dove \(l,r\) sono definite mediante le funzioni di restrizione) è un equalizzatore, su \(U=X\), cioè sulle sue sezioni globali.
"andreadel1988":
Definiamo la corrispondenza fra insiemi $f:X->Y$ tale che per ogni $iinI$ $f_{|_{X_i} }= f_i$
Questa cosa che hai scritto non ha senso perché stai applicando la mappa di restrizione a un simbolo che non hai ancora definito; sia
[tex]f\colon X\to Y,\quad x\mapsto f_i(x)\text{ se } x\in U_i[/tex]
allora...
"andreadel1988":
Ora rimane da mostrare che per ogni $ x inX $ il valore di $ Y $ associato a $ x $ tramite $ f $ è unico. Sui singoli insiemi $ X_i $ per ogni $ iinI $ $ f $ è ben definita come funzione poichè uguale a $ f_i $ che è una funzione, rimane quindi da controllare che se $ x $ appartiene a più insiemi $ X_i $, assuma lo stesso valore su ognuno di essi. Per ipotesi per ogni coppia di indici $ i, jinI $ vale $ f_{i_{|_{X_i nnX_j} }} = f_{j_{|_{X_i nnX_j} }} $,
Basta che fai vedere che [tex]f[/tex] si incolla sulle intersezioni doppie per ogni coppia di indici [tex]i,j[/tex] tale che [tex]U_i\cap U_j\ne\emptyset[/tex]. Sia [tex]x\in U_i\cap U_j[/tex] allora
[tex]\begin{align*}
f(x)&=f_i(x) = f_i\vert_{U_i\cap U_j}(x),\\
f(x) &=f_j(x) = f_j\vert_{U_i\cap U_j}(x),\end{align*}[/tex]
f(x)&=f_i(x) = f_i\vert_{U_i\cap U_j}(x),\\
f(x) &=f_j(x) = f_j\vert_{U_i\cap U_j}(x),\end{align*}[/tex]
allora...
"andreadel1988":
[quote="megas_archon"]Detto altrimenti, il prefascio delle funzioni (eventualmente, continue) verso Y su uno spazio topologico X è un fascio.
Cos'è che non capisci, ora?
Il prefascio sarebbero le funzioni $ f_i: X_i->Y $ mentre il fascio $ f:X->Y $?[/quote]
Il prefascio [tex]\mathcal{S}_{Y}[/tex] delle funzioni su [tex]X[/tex] a valori in [tex]Y[/tex] è la seguente assegnazione (funtore contravariante):
[*:dj9lr4fv] per ogni [tex]U[/tex] aperto di [tex]X[/tex]
[tex]\mathcal{S}_{Y}(U):= Y^U[/tex]
[/*:m:dj9lr4fv][*:dj9lr4fv] per ogni coppia di aperti [tex]U\subseteq V[/tex] di [tex]X[/tex], detta [tex]\imath_{U,V}\colon U\hookrightarrow V[/tex] l'inclusione topologica
[tex]\mathcal{S}_{Y}(\imath_{U,V}):=r_{V,U},\quad r_{V,U}\colon \mathcal{S}_{Y}(V)\to \mathcal{S}_{Y}(U),\quad r_{V,U}\colon f\mapsto f\circ\imath_{U,V}\equiv f\vert_U.[/tex]
[/*:m:dj9lr4fv][/list:u:dj9lr4fv]Le mappe [tex]r_{V,U}[/tex] sono dette morfismi di restrizione, gli elementi di [tex]\mathcal{S}_{Y}(U)[/tex] si chiamano sezioni (locali) su [tex]U[/tex], quelli di [tex]\mathcal{S}_{Y}(X)[/tex] si chiamano sezioni globali.
Tu hai dimostrato (grosso modo) che
per ogni aperto [tex]U[/tex] di [tex]X[/tex] e ogni ricoprimento aperto [tex]\{U_i\}_{i\in I}[/tex] di [tex]U[/tex], date sezioni [tex]f_i\in\mathcal{S}_{Y}(U_i)[/tex] per ogni [tex]i\in I[/tex] tali che [tex]r_{U_i,U_i\cap U_j}f_i = r_{U_j,U_i\cap U_j}f_j[/tex] per ogni [tex]i,j\in I[/tex] esiste una sezione [tex]f\in\mathcal{S}_{Y}(U)[/tex] tale che [tex]r_{U,U_i}f=f_i[/tex] per ogni [tex]i\in I[/tex].
Se dimostri anche (è banale) che tale sezione è unica, ovvero
date due sezioni [tex]f,g\in\mathcal{S}_{Y}(U)[/tex] tali che [tex]r_{U,U_i}f=r_{U,U_i}g[/tex] per ogni [tex]i\in I[/tex], allora [tex]f=g[/tex]
hai dimostrato che [tex]\mathcal{S}_{Y}[/tex] è un fascio.
"banale" nel senso che dipende dalla uguaglianza estensionale di funzioni.
Scusate l'ignoranza, ma facendo il secondo anno di triennale non mi hanno ancora parlato dei fasci di cui parlate voi, quindi non sapevo di cosa si trattasse, grazie della spiegazione
"413":
[quote="andreadel1988"]
Ora rimane da mostrare che per ogni $ x inX $ il valore di $ Y $ associato a $ x $ tramite $ f $ è unico. Sui singoli insiemi $ X_i $ per ogni $ iinI $ $ f $ è ben definita come funzione poichè uguale a $ f_i $ che è una funzione, rimane quindi da controllare che se $ x $ appartiene a più insiemi $ X_i $, assuma lo stesso valore su ognuno di essi. Per ipotesi per ogni coppia di indici $ i, jinI $ vale $ f_{i_{|_{X_i nnX_j} }} = f_{j_{|_{X_i nnX_j} }} $,
Basta che fai vedere che [tex]f[/tex] si incolla sulle intersezioni doppie per ogni coppia di indici [tex]i,j[/tex] tale che [tex]U_i\cap U_j\ne\emptyset[/tex]. Sia [tex]x\in U_i\cap U_j[/tex] allora
[tex]\begin{align*}
f(x)&=f_i(x) = f_i\vert_{U_i\cap U_j}(x),\\
f(x) &=f_j(x) = f_j\vert_{U_i\cap U_j}(x),\end{align*}[/tex]
f(x)&=f_i(x) = f_i\vert_{U_i\cap U_j}(x),\\
f(x) &=f_j(x) = f_j\vert_{U_i\cap U_j}(x),\end{align*}[/tex]
allora...
[/quote]
Ma non è equivalente a mostrare che $f$ si incolla laddove gli insiemi $X_i$ si intersecano? C e nel senso tu dici che è più semplice mostrarlo per le intersezioni doppie perchè così automaticamente poi vale per intersezione arbitrarie finite invece che farlo direttamente per intersezione arbitrarie finite (ovvero quello che ho fatto io)?
"megas_archon":
"banale" nel senso che dipende dalla uguaglianza estensionale di funzioni.
No, nel senso che nella mia ignoranza mi sembrava banale
correggo?"andreadel1988":
C e nel senso tu dici che è più semplice mostrarlo per le intersezioni doppie perchè così automaticamente poi vale per intersezione arbitrarie finite invece che farlo direttamente per intersezione arbitrarie finite (ovvero quello che ho fatto io)?
Il problema di buona definizione ce l'hai dove si intersecano due aperti del ricoprimento (che, per sbaglio, ho chiamato [tex]U_i[/tex] invece di [tex]X_i[/tex]). Se hai fatto vedere che si incolla bene su tutte le coppie, per un fissato [tex]x\in X_i\cap X_j\cap X_k[/tex] sai già che [tex]f(x)=f_i(x)=f_j(x), f(x)=f_i(x)=f_k(x), f(x)=f_j(x)=f_k(x)[/tex] e sei a posto. Mi pare così... sbaglio?
Tu perché vuoi farlo vedere su [tex]\cap_{i=1}^m X_{n_i}[/tex]? E perché poi solo sulle intersezioni finite e non su quelle numerabili o arbitrarie? Non mi pare ci siano delle ipotesi sulla cardinalità del ricoprimento. Magari mi sono perso qualcosa io, eh... capita spesso
E perché poi solo sulle intersezioni finite e non su quelle numerabili o arbitrarie? Non mi pare ci siano delle ipotesi sulla cardinalità del ricoprimento.Non ci sono; la condizione di fascio coinvolge intersezioni di aperti di un covering fatte a due a due.
E' possibile modificare la definizione di fascio come segue: sia \(\lambda\) un cardinale regolare, e \(O(X)\) il poset degli aperti di uno spazio topologico; dico che un funtore \(F : O(X)^{op} \to Set\) è un \(\lambda\)-fascio se per ogni aperto \(U\) e ogni ricoprimento \(\{U_i\mid i\in I\}\), si ha che per ogni sottoinsieme \(J\subseteq I\) di cardinalità \(<\lambda\), ogni matching family di sezioni \(f_i\in FU_i \mid i\in I\) con la proprietà che per ogni coppia di indici \(i,j\) si abbia \(f_i|_{\bigcap_{j\in J} U_j} = f_j|_{\bigcap_{j\in J} U_j}\) ha un unico sollevamento a una sezione su tutto $U$.
Mi sembra che sia una conseguenza dell'associatività infinitaria per l'intersezione, che un \(\lambda\)-fascio sia esattamente un \(\omega\)-fascio, o meglio ancora, un \(3\)-fascio (sebbene la nomenclatura "$n$-fascio sia usata per un'altra cosa, ci capiamo).
Tuttavia, il fatto è che forse la definizione appena data di \(\lambda\)-fascio è poco interessante proprio perché riduce a quella di fascio, e magari ne esiste un'altra.
Segretamente, la condizione di fascio è questa richiesta: sia \((X, O(X))\) uno spazio topologico, \(U\in O(X)\) un aperto, e sia \(\mathcal U=\{U_i\mid i\in I\}\) un suo ricoprimento aperto. Allora ad \(\mathcal U\) si associa uno spazio simpliciale, detto il suo nervo di Čech, il cui spazio degli $n$-simplessi è \(\coprod_{i_1,\dots,i_n} U_{i_1}\cap\dots\cap U_{i_n}\). La condizione di fascio è una condizione di continuità rispetto a questo diagramma, cioè la proprietà di portare il suo colimite (che è proprio \(U\)) in un colimite.
Però così non stai rispondendo alla domanda 
che era molto più banale e che magari pure tu ti sarai posto al secondo anno della triennale dobbiamo mostrare che
è ben definita; il fatto che [tex]\{X_i\}_{i\in I}[/tex] sia un ricoprimento di [tex]X[/tex] ci assicura che un valore da assegnare a ogni [tex]x[/tex] lo troviamo. Per concludere che tale valore sia unico è sufficiente controllare l'univocità sulle intersezioni doppie oppure bisogna controllare sulle intersezioni finite (o oltre) e perchè?
[ot]
Ti seguo fino al nervo di Čech, il resto appare più o meno così: bfwbncj ksdfhwe oiufopir389q25 729hrfdui wg d\uwù dklwejf392 817 u rf32ikfpo 2 3j d9823yr9 023i 'f0k34g h891 34yr32 è239 cnsjafbhc iwh.
[/ot]
che era molto più banale e che magari pure tu ti sarai posto al secondo anno della triennale dobbiamo mostrare che[tex]f\colon X\to Y,\quad x\mapsto f_i(x)\text{ se } x\in X_i[/tex]
è ben definita; il fatto che [tex]\{X_i\}_{i\in I}[/tex] sia un ricoprimento di [tex]X[/tex] ci assicura che un valore da assegnare a ogni [tex]x[/tex] lo troviamo. Per concludere che tale valore sia unico è sufficiente controllare l'univocità sulle intersezioni doppie oppure bisogna controllare sulle intersezioni finite (o oltre) e perchè?
[ot]
"megas_archon":
Segretamente, la condizione di fascio è questa richiesta: sia \( (X, O(X)) \) uno spazio topologico, \( U\in O(X) \) un aperto, e sia \( \mathcal U=\{U_i\mid i\in I\} \) un suo ricoprimento aperto. Allora ad \( \mathcal U \) si associa uno spazio simpliciale, detto il suo nervo di Čech, il cui spazio degli $ n $-simplessi è \( \coprod_{i_1,\dots,i_n} U_{i_1}\cap\dots\cap U_{i_n} \). La condizione di fascio è una condizione di continuità rispetto a questo diagramma, cioè la proprietà di portare il suo colimite (che è proprio \( U \)) in un colimite.
Ti seguo fino al nervo di Čech, il resto appare più o meno così: bfwbncj ksdfhwe oiufopir389q25 729hrfdui wg d\uwù dklwejf392 817 u rf32ikfpo 2 3j d9823yr9 023i 'f0k34g h891 34yr32 è239 cnsjafbhc iwh.
[/ot]
La risposta è ovvia: \(U\supseteq U_i \supseteq U_i\cap U_j\supseteq U_i\cap U_j\cap U_k\supseteq\dots\)
Ti seguo fino al nervo di Čech, il resto appare più o meno cosìSai cos'è un fascio, ma non il nervo di Čech di un covering, come mai?
"413":
Ti seguo fino al nervo di Čech, il resto appare più o meno così: bfwbncj ksdfhwe oiufopir389q25 729hrfdui wg d\uwù dklwejf392 817 u rf32ikfpo 2 3j d9823yr9 023i 'f0k34g h891 34yr32 è239 cnsjafbhc iwh.
Vabbe pensa te che io non ho capito neanche quello ahhahaaha.
@413
Comunque effettivamente un qualunque $x$ potrebbe star in un singolo insieme del ricoprimento, oppure in due intersezioni, oppure in tre intersezioni etc. oppure in un numero arbitrario quindi non solo finito. Quindi come dici tu basta mostrare per 2 intersezioni e si fa prima, credo che però anche mostrandolo per un numero finito si conclude allo stesso modo (dato che sto solo estendendo il caso di 2).
Comunque effettivamente un qualunque $x$ potrebbe star in un singolo insieme del ricoprimento, oppure in due intersezioni, oppure in tre intersezioni etc. oppure in un numero arbitrario quindi non solo finito. Quindi come dici tu basta mostrare per 2 intersezioni e si fa prima, credo che però anche mostrandolo per un numero finito si conclude allo stesso modo (dato che sto solo estendendo il caso di 2).
L'unico problema con quella definizione è che l'intersezione infinita di aperti non è aperta; ma con un numero finito, sì, le due cose sono perfettamente equivalenti, perché se \(x\in U_1\cap U_2\cap U_3\) allora in particolare sta in \(U_1\cap U_{23} := U_1\cap (U_2\cap U_3)\), dove la sezione globale data da una matching family è ben definita.
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