Problema di Dirichlet in un dominio non limitato
Salve, vorrei chiedere un chiarimento su un passaggio riguardante la non unicità della soluzione di un problema di Dirichlet in un dominio non limitato. Scusate se non è la sezione corretta per questa domanda.
Il passaggio è il seguente:
L'intento è dimostrare la non unicità provando l'esistenza di due soluzioni differenti (\(\displaystyle log|x| \) o \(\displaystyle x^{(2-n)}-1 \), a seconda di n, e \(\displaystyle x_n \))? E' possibile nonostante siano definite su domini diversi ({\(\displaystyle x \in R^n | |x|>1 \)} nel primo caso e {\(\displaystyle x \in R^n | x_n > 0 \)} nel secondo)?
Il passaggio è il seguente:
L'intento è dimostrare la non unicità provando l'esistenza di due soluzioni differenti (\(\displaystyle log|x| \) o \(\displaystyle x^{(2-n)}-1 \), a seconda di n, e \(\displaystyle x_n \))? E' possibile nonostante siano definite su domini diversi ({\(\displaystyle x \in R^n | |x|>1 \)} nel primo caso e {\(\displaystyle x \in R^n | x_n > 0 \)} nel secondo)?
Risposte
Dato che la PDE è lineare ed omogenea con condizioni al bordo nulle, per noti fatti di teoria, se ci fosse unica soluzione al problema, essa sarebbe quella identicamente nulla; ma il testo ha appena trovato altre soluzioni non banali, quindi... 
Gli esempi riportati mostrano anche che, in generale, nemmeno restringendosi allo spazio delle funzioni limitate si riesce a garantire unicità.
Gli esempi riportati mostrano anche che, in generale, nemmeno restringendosi allo spazio delle funzioni limitate si riesce a garantire unicità.
Benissimo, grazie mille
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