Norma in $R^3$
Salve, sono nuovo nel forum e vi chiedo scusa se ho scelto la sezione sbagliata e per qualche eventuale errore nella scrittura delle formule. Ho un po' di problemi con un esercizio banale sul calcolo di una norma di una funzione che in R risolvo senza troppi problemi spesso utilizzando il teorema dei residui per integrare.
Sia $h(x)=1/(|x|(|x|^2+1)^(1/2))$ determinare per quali p h(x) appartiene a $L^p(R^3)$ e, in caso appartenga a $L^2(R^3)$ calcolare la rispettiva norma.
Partendo dalla teoria, $L^p$ è lo spazio delle funzioni p integrabili ( $|f|^p$ integrabile) con norma $||f||$ = \(\displaystyle (\int|f(x)|^pdx)^(\frac{1}{p}) \).
Nel caso specifico della funzione assegnata, devo studiare la sommabilità in 0 ($p<3$) e in $∞$ ($2p>3$) per cui complessivamente h(x) appartiene a $L^p$ per $3/2
$||h||^2$ = \(\displaystyle \int1dx/(|x|^2(|x|^2+1)) \). Quello che mi blocca è il fatto che essendo in $R^3$ ho $x=(x1,x2,x3)$ e non credo io possa semplicemente passare a svolgere l'integrale come se fossi in $R$.
Sia $h(x)=1/(|x|(|x|^2+1)^(1/2))$ determinare per quali p h(x) appartiene a $L^p(R^3)$ e, in caso appartenga a $L^2(R^3)$ calcolare la rispettiva norma.
Partendo dalla teoria, $L^p$ è lo spazio delle funzioni p integrabili ( $|f|^p$ integrabile) con norma $||f||$ = \(\displaystyle (\int|f(x)|^pdx)^(\frac{1}{p}) \).
Nel caso specifico della funzione assegnata, devo studiare la sommabilità in 0 ($p<3$) e in $∞$ ($2p>3$) per cui complessivamente h(x) appartiene a $L^p$ per $3/2
$||h||^2$ = \(\displaystyle \int1dx/(|x|^2(|x|^2+1)) \). Quello che mi blocca è il fatto che essendo in $R^3$ ho $x=(x1,x2,x3)$ e non credo io possa semplicemente passare a svolgere l'integrale come se fossi in $R$.
Risposte
Un passaggio in coordinate polari è consigliatissimo! 
Ciao gugo82 e grazie per la risposta. Ho effettuato il passaggio suggerito ma non sono sicuro del risultato... Ti sembra giusto questo procedimento o ho sbagliato qualcosa? Grazie ancora 
$||h||^2$ = \(\displaystyle \int_0^∞ (2\pi)/(|x|^2+1)(\int_0^π sinθdθ)d|x| = 4π\int_0^∞ d|x|/(|x|^2+1) = 2(π)^2 \)
$||h||^2$ = \(\displaystyle \int_0^∞ (2\pi)/(|x|^2+1)(\int_0^π sinθdθ)d|x| = 4π\int_0^∞ d|x|/(|x|^2+1) = 2(π)^2 \)
L'idea è quella... Ma la $p$ che fine ha fatto?
Ho calcolato la norma per $p=2$ perché chiedeva quella. Dalla definizione il risultato dovrebbe essere quell'integrale calcolato elevato a $1/2$ cioè $sqrt(2)π$ se i conti sono giusti.
"Barbarossa":
Ho calcolato la norma per $p=2$ perché chiedeva quella.
Hai ragione, non avevo visto.
"Barbarossa":
Dalla definizione il risultato dovrebbe essere quell'integrale calcolato elevato a $1/2$ cioè $sqrt(2)π$ se i conti sono giusti.
Ok.
La norma $L^2$ di $h$ è proprio $sqrt(2) pi$.
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