Verifica norma operatore
Salve, ho il seguente esercizio:
Dimostrare che l’operatore U definito tramite la $(Uf)(x) = f(x − pi)$, per ogni $f(x)$ in $L2(R)$, ha norma pari ad $1$.
Come procedo? Per avere la norma uguale a 1 U deve essere un operatore illimitato, giusto?
Dimostrare che l’operatore U definito tramite la $(Uf)(x) = f(x − pi)$, per ogni $f(x)$ in $L2(R)$, ha norma pari ad $1$.
Come procedo? Per avere la norma uguale a 1 U deve essere un operatore illimitato, giusto?
Risposte
Sarebbe meglio postassi nella sezione di analisi
Mi scuso, ma è un esercizio di fisica matematica 
È molto piú probabile ricevere risposte se posti in analisi superiore. Comunque "fisica-matematica" è matematica, di fisica non ha nulla.
Grazie. Allora posto lì. Credo questo si possa eliminare.
Idee tue?
Hai una definizione? Usala!
Hai una definizione? Usala!
Non ho la definizione, ho solo tra gli appunti che in una dimostrazione abbiamo assunto noi la norma minore uguale di un certo M=1. Non ho altro...
Edit: Cioè, posso applicare questa definizione qui in cui arrivo a definire la norma minore uguale di M, la come giustifico la scelta di M?
Edit: Cioè, posso applicare questa definizione qui in cui arrivo a definire la norma minore uguale di M, la come giustifico la scelta di M?
La definizione di norma operatoriale è la seguente:
Sì prova che valgono anche le seguenti altre caratterizzazioni della norma operatoriale, che parecchie volte vengono utilizzate per il calcolo esplicito della norma:
Nel tuo caso, è $X=Y=L^2(\mathbb{R})$ con la norma usuale e $U:L^2\to L^2$ è definito ponendo $Uf(x) = f(x-\pi)$ per (quasi) ogni $x\in RR$.
Pertanto, per calcolare la norma basta stabilire quanto vale il quoziente:
\[
\frac{\|Uf\|_2}{\|f\|_2}
\]
per ogni $f!= 0$ e poi cercare l'estremo superiore di tale quantità.
Siano $X$ ed $Y$ spazi normati, con norme \(\|\cdot\|_X\) e \(\|\cdot\|_Y\), e $T:X->Y$ un operatore lineare limitato.
Sì chiama norma dell'operatore $T$ la quantità:
\[
\| T\|_{\text{op}} := \sup_{x\in X, x\neq 0_X} \frac{\| Tx\|_Y}{\| x\|_X}
\]
(la quale esiste finita per definizione di operatore limitato).
Sì prova che valgono anche le seguenti altre caratterizzazioni della norma operatoriale, che parecchie volte vengono utilizzate per il calcolo esplicito della norma:
Siano $X,Y,T$ come sopra.
Si ha \(\| T\|_{\text{op}}= C\) se è solo se:
\[
\begin{split}
C &= \sup_{x\in X, \| x\|_X=1} \| Tx\|_Y \\
&\text{oppure}\\
C &= \min \left\{ c\geq 0:\ \forall x\in X,\ \| Tx\|_Y\leq c \|x\|_X\right\}\; .
\end{split}
\]
Nel tuo caso, è $X=Y=L^2(\mathbb{R})$ con la norma usuale e $U:L^2\to L^2$ è definito ponendo $Uf(x) = f(x-\pi)$ per (quasi) ogni $x\in RR$.
Pertanto, per calcolare la norma basta stabilire quanto vale il quoziente:
\[
\frac{\|Uf\|_2}{\|f\|_2}
\]
per ogni $f!= 0$ e poi cercare l'estremo superiore di tale quantità.
mostrare che quell'operatore è unitario, in alternativa, potrebbe andare come soluzione?
A me pare effettivamente troppo banale come questione per scomodare altre nozioni... La definizione di norma basta ed avanza (e la verifica si fa in mezza riga).
be' sì, in realtà l'ho proposto solo perché mi era appena venuto in mente, leggendo il thread, e volevo conferma di aver visto giusto 
Grazie mille (:
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