Borel in Borel tramite omeomorfismo
Sia $f:X->Y$ un omeomorfismo. Dimostrare che $B$ è un boreliano $<=> f(B)$ è un boreliano.
Non so da dove cominciare, forse perchè ho capito come è fatto un boreliano, ma formalmente non saprei lavorarci.
So che gli aperti sono boreliani, quindi siccome la mia funzione è un omeomorfismo ($f^(-1)$ è continua) manda aperti in aperti. Stessa cosa con i chiusi. Ma non è questo il modo di lavorare, anche perchè sicuramente mi sfuggirà qualche boreliano. Come posso fare? Suggerimenti? Grazie mille
Non so da dove cominciare, forse perchè ho capito come è fatto un boreliano, ma formalmente non saprei lavorarci.
So che gli aperti sono boreliani, quindi siccome la mia funzione è un omeomorfismo ($f^(-1)$ è continua) manda aperti in aperti. Stessa cosa con i chiusi. Ma non è questo il modo di lavorare, anche perchè sicuramente mi sfuggirà qualche boreliano. Come posso fare? Suggerimenti? Grazie mille
Risposte
Ricordati che in generale per verificare la misurabilita' basta verificarla sui generatori della sigma algebra del codominio.
Ti lascio un link dove trovi le dimostrazioni
http://www.dmi.unict.it/~villani/Istitu ... lo%209.pdf
Ti lascio un link dove trovi le dimostrazioni
http://www.dmi.unict.it/~villani/Istitu ... lo%209.pdf
Prendiamo $f:(X,\tau_X) \to (Y,\tau_Y)$ spazi toplogici tale che $f$ sia un omeomorfismo.
La famiglia $\mathcal{A}:= \{A \subset Y : f^{-1}(A) \in \sigma(\tau_X)\}$ è una sigma algebra in $Y$ e contiene sicuramente gli aperti di $Y$ e dunque vale anche $\sigma(\tau_Y) \subset \mathcal{A}$.
Dunque, preso $B \subset X$, se $f(B) \in \sigma(\tau_Y)$ allora $f(B) \in \mathcal{A}$ e dunque $f^{-1}(f(B))=B \in \sigma(\tau_X)$.
Discorso analogo per l'inverso, che è esattamente quanto scrive Wilde.
La famiglia $\mathcal{A}:= \{A \subset Y : f^{-1}(A) \in \sigma(\tau_X)\}$ è una sigma algebra in $Y$ e contiene sicuramente gli aperti di $Y$ e dunque vale anche $\sigma(\tau_Y) \subset \mathcal{A}$.
Dunque, preso $B \subset X$, se $f(B) \in \sigma(\tau_Y)$ allora $f(B) \in \mathcal{A}$ e dunque $f^{-1}(f(B))=B \in \sigma(\tau_X)$.
Discorso analogo per l'inverso, che è esattamente quanto scrive Wilde.
@Wilde: Non sapevo dell'esistenza di questo potentissimo teorema sui generatori. Fantastico! 
@Bremen000: Grazie per avermi aiutata a formalizzare il tutto. Così è perfetto
Grazie di cuore ragazzi, siete stati più che chiari e mi avete risposto subitissimo
@Bremen000: Grazie per avermi aiutata a formalizzare il tutto. Così è perfetto
Grazie di cuore ragazzi, siete stati più che chiari e mi avete risposto subitissimo
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