Calcolo delle variazioni, equazione di eulero-lagrange

[donald_zeka]

Come si determina l'equazione di Eulero-Lagrange per un funzionale del tipo:

$L=int_(t_1)^(t_2)int_(Omega)f(x, u, dotu, nablau)dVdt$

Essendo $x in Omega sub RR^3$, e $u=u(x,t)$ ?

[gugo82]

Con le solite regole, tenendo presente che c'è una variabile in più (quella temporale).

[dissonance]

Puoi trovarlo sul Reed & Simon, terzo volume, intorno a pag.278 (teorema di Noether):

https://books.google.es/books?id=pHvNCg ... em&f=false

[donald_zeka]

@dissonance purtroppo quella parte del testo non è data in anteprima

Ok, penso di aver capito, seguendo l'esempio del pagani-salsa in cui non è presente la variabile temporale, ho:

$L=int_(t_1)^(t_2)int_(Omega)f(x, u, dotu, nablau)dVdt$

Considero quindi una variazione $deltah=sh$ con $h=h(x,t)$ tale che $h(*, t_1)=h(*, t_2)=0$ e tale che $h(x,t)=0$ per $x in partialOmega$, quindi pongo:

$phi(s)=L[u+sh]=int_(t_1)^(t_2)int_(Omega)f(x, u+sh, dotu+sdoth, nablau+snablah)dVdt$,

quindi $phi'(0)=0$ implica:

$int_(t_1)^(t_2)int_(Omega)(partialf)/(partialu)*h+(partialf)/(partialdotu)*doth+(partialf)/(partialnablau)*nablah)dVdt=0$ per ogni $h$

Svolgendo il tutto dovrei arrivare a:

$(partialf)/(partialu)-d((partialf)/(partialdotu))/(dt)-nabla*(partialf)/(partialnablau)=0$

[dissonance]

Io scriverei \(\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial f}{\partial \dot u}\) per non confondere con la derivata totale, ma è corretto.