PDE di Burgers con shock line
Ciao a tutti,
sono alla prese con l'equazione di Burgers $ (delu)/(delx) + u*(delu)/(delz) = 0 $ , con condizione iniziale $ g(x)={ ( 0rarr x<=0 vv x>=2 ) ,( x rarr 0<=x<=1),( 2-x rarr 1<=x<=2):} $ , essendo $ u(0,x)=g(x) $ .
Nella transizione tra le prime due definizioni non ho problemi, dato che a sinistra le caratteristiche sono tutte parallele con pendenza pari a zero, mentre a destra partono con pendenza pari a zero ma dipendente dal valore di x0.
Il problema sorge tra il secondo e il terzo intervallo: dato che le caratteristiche si intersecano mi aspetterei di risolvere le condizioni di Rankine Hugoniot per trovare la shock line che mi descrive dove ho discontinuità. Ciò non è però possibile perchè andando a calcolare $ s'(t)=(q(u+)-q(u-))/((u+)-u(-)) $ ottengo $ 0/0 $ . Ho provato a passare al limite e a far tendere x a 1, ma il problema persiste. Matematicamente cosa significa? Come posso risolvere?
sono alla prese con l'equazione di Burgers $ (delu)/(delx) + u*(delu)/(delz) = 0 $ , con condizione iniziale $ g(x)={ ( 0rarr x<=0 vv x>=2 ) ,( x rarr 0<=x<=1),( 2-x rarr 1<=x<=2):} $ , essendo $ u(0,x)=g(x) $ .
Nella transizione tra le prime due definizioni non ho problemi, dato che a sinistra le caratteristiche sono tutte parallele con pendenza pari a zero, mentre a destra partono con pendenza pari a zero ma dipendente dal valore di x0.
Il problema sorge tra il secondo e il terzo intervallo: dato che le caratteristiche si intersecano mi aspetterei di risolvere le condizioni di Rankine Hugoniot per trovare la shock line che mi descrive dove ho discontinuità. Ciò non è però possibile perchè andando a calcolare $ s'(t)=(q(u+)-q(u-))/((u+)-u(-)) $ ottengo $ 0/0 $ . Ho provato a passare al limite e a far tendere x a 1, ma il problema persiste. Matematicamente cosa significa? Come posso risolvere?
Risposte
Direi che fino al tempo $t=1$ le caratteristiche non si incrociano.
Al tempo $t=1$ si forma uno shock in $x=2$ che viaggia con velocità $\dot{s}(t) = 1/2$ (data dalla condizione di R-H).
Al tempo $t=1$ si forma uno shock in $x=2$ che viaggia con velocità $\dot{s}(t) = 1/2$ (data dalla condizione di R-H).
Ciao Rigel, grazie per la risposta.
Immagino che per trovare il tempo $t=1$ tu abbia risolto l'equazione $1+g'(x)q''(g(x0))t=0$. Non ci avevo pensato, ma effettivamente l'istante in cui parte lo shock si riesce a trovare. Ma per la x come si fa? So che in teoria si definisce la funzione $z(x)=q''(g(x))g'(x)$, massimizzandola si trova $xm$, e il primo istante dello shock risulta $tm=-1/(z(xm))$. Quindi poi la posizione dello shock risulta $xs=-(q'(g(xm)))/(z(xm))+xm$. Ma dato che nella funzione $z$ non compare x, come posso trovare $x=2$ come posizione di partenza dello shock?
Immagino che per trovare il tempo $t=1$ tu abbia risolto l'equazione $1+g'(x)q''(g(x0))t=0$. Non ci avevo pensato, ma effettivamente l'istante in cui parte lo shock si riesce a trovare. Ma per la x come si fa? So che in teoria si definisce la funzione $z(x)=q''(g(x))g'(x)$, massimizzandola si trova $xm$, e il primo istante dello shock risulta $tm=-1/(z(xm))$. Quindi poi la posizione dello shock risulta $xs=-(q'(g(xm)))/(z(xm))+xm$. Ma dato che nella funzione $z$ non compare x, come posso trovare $x=2$ come posizione di partenza dello shock?
Se disegni le caratteristiche, quelle che partono al tempo $t=0$ da un punto $x_0\in [1,2]$ si incrociano tutte al tempo $t=1$ nel punto $x=2$.
Ok, plottando tutte le caratteristiche con MATLAB sono riuscito a vedere che effettivamente si incrociano tutte in $(2;1)$.
Ho un ultimo problema: come faccio ad applicare RH qui? La mia $g(x)$ è comunque continua, quindi continuo a trovare $0/0$ calcolando $s'(t)=(q(u+)-q(u-))/(u(+)-u(-))$. Quali valori di $u$ e $q(u)$ dovrei inserire?
Ho un ultimo problema: come faccio ad applicare RH qui? La mia $g(x)$ è comunque continua, quindi continuo a trovare $0/0$ calcolando $s'(t)=(q(u+)-q(u-))/(u(+)-u(-))$. Quali valori di $u$ e $q(u)$ dovrei inserire?
Per tempi $t\geq 1$, alla destra dello shock hai $u^+ = 0$, mentre a sinistra hai \(u^- = 1\).
Le R-H ti forniscono $\dot{s} = \frac{u^+ + u^-}{2} = \frac{1}{2}$.
Le R-H ti forniscono $\dot{s} = \frac{u^+ + u^-}{2} = \frac{1}{2}$.
Scusami l'insistenza, ma proprio non riesco a capire. Perchè usi quella relazione, da dove spunta? L'unica forma di RH che ci hanno fatto vedere è quella con il rapporto tra $q(u)$ e $u$, e dal momento che la condizione iniziale è continua, continuo ad ottenere $0/0$.
Per Burgers, con le tue notazioni hai \(q(u) = u^2 / 2\). Di conseguenza
\[
\frac{q(u^+) - q(u^-)}{u^+-u^-} = \frac{1}{2} \, \frac{(u^+)^2 - (u^-)^2}{u^+ - u^-} = \frac{u^+ + u^-}{2}.
\]
La condizione iniziale sarà anche continua, ma in \((1,2)\) ti arrivano, da destra, i dati iniziali dove \(g=0\), mentre a sinistra arrivano i dati iniziali con \(g = 1\). Se hai disegnato le caratteristiche, ciò dovrebbe essere chiaro.
\[
\frac{q(u^+) - q(u^-)}{u^+-u^-} = \frac{1}{2} \, \frac{(u^+)^2 - (u^-)^2}{u^+ - u^-} = \frac{u^+ + u^-}{2}.
\]
La condizione iniziale sarà anche continua, ma in \((1,2)\) ti arrivano, da destra, i dati iniziali dove \(g=0\), mentre a sinistra arrivano i dati iniziali con \(g = 1\). Se hai disegnato le caratteristiche, ciò dovrebbe essere chiaro.
Chiarissimo, grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo