\( \bigcap_{t \in \mathbb{R}} H^t (\mathbb{R}^n) \) è denso in \( H^s (\mathbb{R}^n) \) per ogni \(s \in \mathbb{R}\)

[Sk_Anonymous]

Dato \(s \in \mathbb{R}\), sia \(H^s (\mathbb{R}^n) \) lo spazio di Sobolev definito usando la trasformata di Fourier.
Conosco una dimostrazione del problema nel titolo, ma fa uso della decomposizione di Littlewood-Paley e di alcune sue proprietà. Ci si può arrivare per altre strade?

[dissonance]

Quella intersezione contiene lo spazio delle funzioni lisce e a supporto compatto. Oppure, ancora più facile, quella intersezione contiene lo spazio delle funzioni con la trasformata di Fourier liscia e a supporto compatto.

[Sk_Anonymous]

Hai ragione, grazie, in effetti era banale (almeno per i Sobolev di ordine non negativo). Per esempio vale anche \(W^{s,p}(\mathbb{R}^n) = \overline{\mathscr{C}_c ^\infty (\mathbb{R}^n)}\) per \( p \in (1,+\infty)\) e \(s \in \mathbb{N}\).

[dissonance]

Per gli spazi di ordine negativo devi considerare funzioni che siano nulle in Fourier in un intorno dell'origine. Vediti le prime righe dell'articolo di Gérard sul difetto di compattezza dell'ingezione di Sobolev, occhio che è in francese.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":Per gli spazi di ordine negativo devi considerare funzioni che siano nulle in Fourier in un intorno dell'origine. Vediti le prime righe dell'articolo di Gérard sul difetto di compattezza dell'ingezione di Sobolev, occhio che è in francese.

Non ho problemi con la Matematica scritta in francese.

[ot]Spero comunque che l'articolo sia stato scritto con un po' più di creanza rispetto al libro che menzionavo qui, pieno zeppo di typos più o meno gravi (sia l'originale che la traduzione inglese). Credo che ad un certo punto farò una bella lista e gli invierò un'email...[/ot]

[dissonance]

Mandagliela, magari ti ricevono bene. Questi libri di livello ricerca sono pubblicati ad uso degli esperti e quindi spesso scritti di fretta, in particolare nelle sezioni introduttive. La cosa che a loro interessa è che i risultati siano pubblicati, per potervi fare riferimento. Che poi non si capisca niente è secondario. Comunque gli articoli più famosi di Gérard mi paiono scritti abbastanza bene.