Immagine operatore compatto
Buongiorno a tutti,
mi servirebbe un aiuto nel dimostrare che dati due spazi normati $X,Y$, con $Y$ di dimensione infinita e un operatore compatto $T: X \to Y$, allora l'immagine $T(X)$ non può essere densa in $Y$.
Grazie a chi mi vorrà dare un suggerimento!
mi servirebbe un aiuto nel dimostrare che dati due spazi normati $X,Y$, con $Y$ di dimensione infinita e un operatore compatto $T: X \to Y$, allora l'immagine $T(X)$ non può essere densa in $Y$.
Grazie a chi mi vorrà dare un suggerimento!
Risposte
Qualcosa non mi torna, sei sicuro del testo? Se prendi $X=Y$ e guardi un po' la teoria spettrale temo che puoi costruire dei controesempi alla tua affermazione: pensa ad un operatore compatto $X\to X$ con $X$ di dimensione infinita e che ha $0$ nello spettro continuo...
"Luca.Lussardi":
Qualcosa non mi torna, sei sicuro del testo? Se prendi $X=Y$ e guardi un po' la teoria spettrale temo che puoi costruire dei controesempi alla tua affermazione: pensa ad un operatore compatto $X\to X$ con $X$ di dimensione infinita e che ha $0$ nello spettro continuo...
Buongiorno, grazie per l'aiuto. In effetti è facile trovare un controesempio. Allora credo che la tesi sia che un operatore compatto $T: X \to Y$, con $Y$ di dimensione infinita, non può essere suriettivo. Mi pare più ragionevole e per ora non mi sono venuti in mente controesempi.
Si, questo mi sa che e' vero, credo che si faccia col teorema dell'applicazione aperta: prova a supporre $T$ suriettivo e a prendere una successione limitata in $Y$ e cerca di estrarre una sottosuccessione convergente, se ce la fai $Y$ deve avere dimensione finita.
"Luca.Lussardi":
Si, questo mi sa che e' vero, credo che si faccia col teorema dell'applicazione aperta: prova a supporre $T$ suriettivo e a prendere una successione limitata in $Y$ e cerca di estrarre una sottosuccessione convergente, se ce la fai $Y$ deve avere dimensione finita.
Presa una successione limitata in $Y$, devo capire se la sua controimmagine è ancora limitata. In tal caso, applicando la definizione di operatore compatto, trovo una sottosuccessione convergente in $Y$. Non sono sicuro che la controimmagine tramite $T$ di un insieme limitato sia ancora limitato.
"mombs":
Presa una successione limitata in $Y$, devo capire se la sua controimmagine è ancora limitata. In tal caso, applicando la definizione di operatore compatto, trovo una sottosuccessione convergente in $Y$. Non sono sicuro che la controimmagine tramite $T$ di un insieme limitato sia ancora limitato.
Infatti in generale non e' vero, ma qui entra il teorema dell'applicazione aperta. Prendi $T$ suriettivo. Siccome $T$ e' compatto allora e' anche continuo, per il teorema dell'applicazione aperta esiste $\delta>0$ tale che $B(0,\delta)\subseteq T(B(0,1))$. Prendi quindi una successione $y_h$ in $B(0,\delta)$. Siccome $T$ e' suriettiva $y_y=T(x_h)$ per qualche $x_h\in X$, e dal momento che $B(0,\delta)\subseteq T(B(0,1))$ puoi fare in modo, selezionando $x_h$, che $x_h\in B(0,1)$. Dunque $T(x_h)=y_h$ ha estratta convergente poiche' $T$ e' compatto. Da cio' segue che $B(0,\delta)$ ha chiusura compatta, e questo puo' essere vero solo se $Y$ ha dimensione finita siccome $B(0,\delta)$ ha interno non vuoto.
Concordo con tutte le sue argomentazioni, ma non capisco la sua conclusione: perché se $B(0,\delta)$ ha chiusura compatta allora $Y$ ha dimensione finita? Perché basta verificare che solo una palla ha chiusura compatta per concludere? Grazie ancora.
E' un fatto di analisi funzionale generale: se $X$ e' normato e $C$ e' compatto in $X$ con parte interna non vuota, allora $X$ ha dimensione finita.
Ora è tutto chiaro, grazie mille per le risposte esaurienti.
Buona giornata e buon anno!
Buona giornata e buon anno!
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