Integrale con teorema residui
Salve ragazzi, stavo svolgendo questo integrale:
$\int_{+delD} (1-cosz)/((z+pi)^2 z^2 sinz) dz$ dove $D={z in CC |z+pi/2|
$z_0= 0$ polo singolo e $z_1= -pi$ polo doppio
il primo polo annulla tre volte il denomintaore e 2 volte il numeratore.
Il residuo calcolato in $z_0$ mi restituisce $1/(2pi^2)$ ma il secondo residuo mi restituisce $infty$ quindi non so come procedere.
Sicuramente ho mancato qualcosa di teoria...
Messo che i residui e le singolarità sono corrette, mi aiutate per favore?
Graziew mille
$\int_{+delD} (1-cosz)/((z+pi)^2 z^2 sinz) dz$ dove $D={z in CC |z+pi/2|
$z_0= 0$ polo singolo e $z_1= -pi$ polo doppio
il primo polo annulla tre volte il denomintaore e 2 volte il numeratore.
Il residuo calcolato in $z_0$ mi restituisce $1/(2pi^2)$ ma il secondo residuo mi restituisce $infty$ quindi non so come procedere.
Sicuramente ho mancato qualcosa di teoria...
Messo che i residui e le singolarità sono corrette, mi aiutate per favore?
Graziew mille
Risposte
Intanto, $[z=-\pi]$ è un polo del terzo ordine. Per determinarne il residuo, anche se piuttosto laborioso, si può sviluppare in serie di Laurent:
$[z+\pi=w] ^^ [f(z)=(1-cosz)/((z+\pi)^2z^2sinz)] rarr$
$rarr [g(w)=f(w-\pi)=(1-cos(w-\pi))/(w^2(w-\pi)^2sin(w-\pi))=-1/\pi^2(1+cosw)/(1-w/\pi)^2 1/(w^2sinw)] rarr$
$rarr [g(w)=-1/\pi^2[1+1-1/2w^2+o(w^2)][1+2/\piw+3/\pi^2w^2+o(w^2)]1/(w^2[w-1/6w^3+o(w^3)])] rarr$
$rarr [g(w)=[-2/\pi^2-4/\pi^3w+(\pi^2-12)/(2\pi^4)w^2+o(w^2)]1/(w^3[1-1/6w^2+o(w^2)])] rarr$
$rarr [g(w)=[-2/\pi^2-4/\pi^3w+(\pi^2-12)/(2\pi^4)w^2+o(w^2)](1+1/6w^2+o(w^2))/w^3] rarr$
$rarr [g(w)=-2/\pi^2 1/w^3-4/\pi^3 1/w^2+(\pi^2-36)/(6\pi^4)1/w+o(1/w)]$
Vale la pena controllare con Wolfram:
Altrimenti, procedimento altrettanto laborioso, si può calcolare la derivata seconda della seguente funzione:
$[1/2(z+\pi)^3f(z)=((z+\pi)(1-cosz))/(2z^2sinz)]$
per $[z=-\pi]$.
$[z+\pi=w] ^^ [f(z)=(1-cosz)/((z+\pi)^2z^2sinz)] rarr$
$rarr [g(w)=f(w-\pi)=(1-cos(w-\pi))/(w^2(w-\pi)^2sin(w-\pi))=-1/\pi^2(1+cosw)/(1-w/\pi)^2 1/(w^2sinw)] rarr$
$rarr [g(w)=-1/\pi^2[1+1-1/2w^2+o(w^2)][1+2/\piw+3/\pi^2w^2+o(w^2)]1/(w^2[w-1/6w^3+o(w^3)])] rarr$
$rarr [g(w)=[-2/\pi^2-4/\pi^3w+(\pi^2-12)/(2\pi^4)w^2+o(w^2)]1/(w^3[1-1/6w^2+o(w^2)])] rarr$
$rarr [g(w)=[-2/\pi^2-4/\pi^3w+(\pi^2-12)/(2\pi^4)w^2+o(w^2)](1+1/6w^2+o(w^2))/w^3] rarr$
$rarr [g(w)=-2/\pi^2 1/w^3-4/\pi^3 1/w^2+(\pi^2-36)/(6\pi^4)1/w+o(1/w)]$
Vale la pena controllare con Wolfram:
Altrimenti, procedimento altrettanto laborioso, si può calcolare la derivata seconda della seguente funzione:
$[1/2(z+\pi)^3f(z)=((z+\pi)(1-cosz))/(2z^2sinz)]$
per $[z=-\pi]$.
hey, grazie della risposta! Ma da quello che so, il prof non predilige laurent 
e tra l'altro non l'ho mai usato.
Comunque il polo $z_1=-pi$ è del secondo ordine poichè :
$sin(z)=0 rArr z=k pi $ ciò vuol dire che solo quando $k=0$, $z_1 in D$ per k=1 il modulo già non viene rispettato (siamo fuori la circonferenza e lo escludiamo
).
Quindi verrebbe al denominatore abbiamo $z_0=0 , z_1=-pi$ rispettivamente triplo e doppio.
il polo triplo come detto prima annulla anche il numeratore (dalla regola della derivata) ottengo che $z_1$ è un polo semplice.
Comunque sussiste il problema che non saprei gestire un "infinito" come risultato D:
e tra l'altro non l'ho mai usato.Comunque il polo $z_1=-pi$ è del secondo ordine poichè :
$sin(z)=0 rArr z=k pi $ ciò vuol dire che solo quando $k=0$, $z_1 in D$ per k=1 il modulo già non viene rispettato (siamo fuori la circonferenza e lo escludiamo
).Quindi verrebbe al denominatore abbiamo $z_0=0 , z_1=-pi$ rispettivamente triplo e doppio.
il polo triplo come detto prima annulla anche il numeratore (dalla regola della derivata) ottengo che $z_1$ è un polo semplice.
Comunque sussiste il problema che non saprei gestire un "infinito" come risultato D:
Ripeto, $[z=-\pi]$ è un polo del terzo ordine interno al dominio:
Puoi sempre calcolare la derivata seconda della seguente funzione:
$[1/2(z+\pi)^3f(z)=((z+\pi)(1-cosz))/(2z^2sinz)]$
per $[z=-\pi]$. Scommetto un caffè che risulta $[(\pi^2-36)/(6\pi^4)]$.
"Dxerxes":
... il prof non predilige laurent ...
Puoi sempre calcolare la derivata seconda della seguente funzione:
$[1/2(z+\pi)^3f(z)=((z+\pi)(1-cosz))/(2z^2sinz)]$
per $[z=-\pi]$. Scommetto un caffè che risulta $[(\pi^2-36)/(6\pi^4)]$.
$z_1 = -pi$ è del terzo ordine perchè annulla due volte $(z+pi)^2$ e una volta $sin(z)$ vero?
Non l'avevo controllato
Non l'avevo controllato
"Dxerxes":
... è del terzo ordine perché ...
Affermativo.
menomale, grazie della dritta...ma svolgere quel cacchio di residuo resta comunque un'impresa 
All'esame non so se riuscirei a svolgerlo ...
All'esame non so se riuscirei a svolgerlo ...
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