Limite successione di distribuzioni

[elizabeth_monroe1]

Ciao a tutti, vorrei chiedervi una mano con questo esercizio:
trovare il limite, se esiste, della seguente successione di distribuzioni per n tendente ad infinito di
$n(\delta_{\frac{1}{n}}- \delta_{frac{-1}{n}})$

La cosa che mi disorienta è il meno della seconda delta, il risultato dovrebbe essere $-2\cdot\delta_0\prime$ ma a me viene di segno positivo. I calcoli che ho provato a svolgere sono questi:

$ \lim_ {n\to infty} {n\cdot (\phi(\frac{1}{n})-\phi(\frac{-1}{n}) )} =$
$frac{\phi(frac{1}{n})-\phi(frac{-1}{n}) -\phi(0)+\phi(0)} {\frac{1}{n}}=$

$\frac{\phi(frac{1}{n})-\phi(0)}{\frac{1}{n}}+ \frac{\phi(frac{-1}{n})-\phi(0)}{\frac{-1}{n}}= $

$ \lim_ {n\to infty}{\phi\prime(frac{1}{n}) - \phi\prime(frac{1}{n})} = 2\cdot\delta\prime_0$

Qualcuno può darmi una mano? Il problema è che non so gestire bene la funzione test in questo caso e quindi probabilmente sbaglio a fare il rapporto incrementale. Grazie in anticipo

[Studente Anonimo]

Premesso che la seguente uguaglianza:

$[lim_(n->+oo)(\phi(1/n)-\phi(0))/(1/n)+(\phi(-1/n)-\phi(0))/(-1/n)=lim_(n->+oo)\phi'(1/n)-\phi'(1/n)]$

è piuttosto discutibile, non vorrei che ti bastasse ricordare la definizione di derivata di una distribuzione:

$[-2\int_(-oo)^(+oo)\delta'(x)\phi(x)dx=2\int_(-oo)^(+oo)\delta(x)\phi'(x)dx=2\phi'(0)] rarr$

$rarr [lim_(n->+oo)(\phi(1/n)-\phi(-1/n))/(1/n)=lim_(n->+oo)(\phi(1/n)-\phi(0))/(1/n)+(\phi(-1/n)-\phi(0))/(-1/n)=2\phi'(0)=-2\delta'(x)]$