Funzioni subarmoniche definizioni

[Reyzet]

Ciao, sto studiando il metodo di Perron per risolvere il problema di Dirichlet per il laplaciano e mi sono imbattuto nelle definizioni più generali di funzioni subarmoniche, che però non sono uniche.
Ne ho trovate diverse ma non capisco se siano equivalenti:
(A) u continua è subarmonica in un aperto $\Omega$ se per ogni palla chiusa $\overline{B} \subset \Omega$ e h armonica nella palla si ha l'implicazione \[u \leq h \text{
in } \partial B \implies u \leq h \text{ in } B\]
(B) " " se per ogni aperto $Omega'$ con chiusura contenuta in $\Omega$ e ogni funzione armonica h in questo aperto accade che \[\max_{\partial \Omega'}(u-h)=\max_{\overline{\Omega'}}(u-h)\]
Non capisco se siano equivalenti, cioè mi sembra chiaro che (B) implichi (A), essendo $u-h \leq 0$ sulla frontiera quindi il massimo è non positivo anche sulla chiusura e perciò $u-h \leq 0$ su tutta la palla, ma il viceversa?
E come si lega tutto ciò alla definizione che si dà nel caso $C^2$, cioè $\Delta u \geq 0$?

[dissonance]

Quella che conoscevo io è la (a). Nel caso regolare tutte queste cose si riducono al teorema delle medie sferiche, le funzioni armoniche lo verificano con una identità, quelle subarmoniche con un \(\le\) e quelle superarmoniche con un \(\ge\) (non so se mi spiego, non mi sono sforzato molto, devo ammetterlo).

[Reyzet]

Infatti alla fine ho optato per la (a) che era una su una fonte più autorevole (Gilbarg-Trudinger) e ho verificato l'equivalenza con la formula di sottomedia che dicevi tu. Credo che poi questo basti anche a fare vedere che nel caso C^2 coincide con $\Delta>0$, perché le formule di media mi pare caratterizzino le funzioni C^2 (sub/super)armoniche, stando all'Evans.
La (b) invece mi pare superflua, implica sì la (a) ma la dimostrazione che segue la dispensa da cui viene, dimostra che i sollevamenti armonici sono subarmonici ma lo fa basandosi sulla (a), quindi non ha molto senso..