Diffeomorfismi per polinomio in \( \mathbb{C} \).

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C'è un teorema di analisi complessa che ci dice che se \(f\) è analitica in \( z_0 \) e l'ordine dello zero \( ord(f',z_0) = n \geq 0 \), allora effettuando un cambiamento di coordinate locale, \(f(z)= z^{n+1} \). Ovvero esistono dei diffeomorfismi analitici \(h_1, h_2 \) tale che \( h_1(0)=z_0 \) e \( h_2 (0) = f(z_0) \) tale che
\[ h_2 \circ f \circ h_1^{-1} = z^{n+1} \]

Mi chiedevo, se \(f\) è un polinomio \(f(z)=(z-z_0)^{n} g(z) \) con \(g(z_0) \neq 0 \), a coefficienti interi e \(p(z)=(z-z_0)^{k} q(z) \) un polinomio a coefficienti interi tale che \( p(z) \mid f(z) \) , allora questi diffeomorfismi come trasformano \(p(z) \)?
Cioé è ancora vero che localmente
\[ h_2 \circ p \circ h_1^{-1} \mid h_2 \circ f \circ h_1^{-1} \]
?
Se sì è vero che abbiamo localmente
\[ h_2 \circ p \circ h_1^{-1} = z^{k} \mid z^n = h_2 \circ f \circ h_1^{-1} \]

Il fatto è che se \( n = k \) mi sembra come dire che \( f \) e \(p \) coincidono localmente, ovvero in un intorno di \(z_0 \) e non solo in \(z_0\), questo è vero?

[dissonance]

Non credo. Tu stai assumendo che
\[
f=pq+r, \]
dove \(q, r\) sono dei polinomi. Tu sai che
\[
h_2 f h_1^{-1}=z^{n+1}, \]
e questo implica che
\[
z^{n+1} = h_2 pq h_1^{-1} + h_2 r h_1^{-1}. \]
Se capisco bene, la tua congettura sarebbe dimostrata se \(h_2 r h_1^{-1}\) fosse un polinomio, ma non penso che sia il caso in generale.

A MENO CHE

la mappa \( f\mapsto h_2\, f\, h_1^{-1}\) preservi i polinomi, nel senso che \(h_2\, f \, h_1^{-1}\) è un polinomio se \(f\) lo è. Se questo è vero, la tua congettura regge. Ma bisogna andare a vedere la dimostrazione del teorema che citi all'inizio, e vedere come \(h_1, h_2\) vengono costruiti.