Controesempi.

[Studente Anonimo]

Controesempi:
i) Trova una funzione che è uguale a una funzione continua quasi ovunque ma che non è continua quasi ovunque.
ii) Trova una funzione che è continua quasi ovunque ma non è uguale a una funzione continua quasi ovunque.
Io per i) ho pensato a \( \chi_{\mathbb{Q}} \) che è quasi ovunque uguale a \( 0 \) che è continua, ma è discontinua ovunque.
Per ii) ho pensato a \( \chi_{[0,1]} \) che è continua quasi ovunque (tranne in \(0\) e in \(1\) ) e penso che non sia uguale una funzione continua quasi ovunque. Infatti se una \( f \) è continua ed è uguale a \( \chi_{[0,1]} \) quasi ovunque, la funzione \(f\) diciamo che su \( (-\infty,0) \) è uguale a \(0\), poi deve salire a \(1\), diciamo che \(- \delta := \sup \{ x \in (-\infty, 0): f(x) = 0 \} \), supponiamo \( \delta > 0 \), abbiamo quindi che la \(f\) differisce da \(0\) su un intervallo \( (-\delta,0) \), quindi se \( \chi_{[0,1]} = f \) avremmo \( \delta = 0 \) cosa non possibile.
Supponiamo dunque \( \delta= 0 \) abbiamo che sull'intervallo \([\delta,\delta + \epsilon)=[0,\epsilon) \) la funzione \(f\) differisce da \(1\) , dove \( \epsilon := \inf \{ x \in [0,1]: f(x) =1 \} \). E per ipotesi \( \epsilon >0 \) poiché \(f \) continua.

Vi sembra funzionare?

[solaàl]

Cosa significa "uguale"?

[Studente Anonimo]

"solaàl":Cosa significa "uguale"?

\( f = g \) quasi ovunque se \( f = g \) a meno di un insieme di misura (di Lebesgue) nulla. \( \chi_{\mathbb{Q}} = 0 \) quasi ovunque. Infatti per ogni \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) allora \( \chi_{\mathbb{Q}}(x) = 0 \), e \( \operatorname{mes}(\mathbb{Q})=0\).

[solaàl]

Certo, ma non è quello che solitamente significa la parola "uguale".

[Studente Anonimo]

"solaàl":Certo, ma non è quello che solitamente significa la parola "uguale".

Beh ma in questo contesto è chiaro cosa s'intende.

[Mathita]

"3m0o":Controesempi:...
ii) Trova una funzione che è continua quasi ovunque ma non è uguale a una funzione continua quasi ovunque. ...

Premessa: teoria della misura è fuori dai miei radar da una vita, perciò potrei scrivere cavolate.

La richiesta nel quote è strana. Una funzione continua quasi ovunque è uguale a se stessa, no?

[Studente Anonimo]

"Mathita":

Premessa: teoria della misura è fuori dai miei radar da una vita, perciò potrei scrivere cavolate.

La richiesta nel quote è strana. Una funzione continua quasi ovunque è uguale a se stessa, no?

Certo perché ho invertito io, le frasi giuste sono
i) ) Trova una funzione che è uguale quasi ovunque a una funzione continua ma che non è continua quasi ovunque.
ii) Trova una funzione che è continua quasi ovunque ma non è uguale quasi ovunque a una funzione continua.

Edit: L'esempio che ho dato per ii) ovvero \( \chi_{[0,1]} (x)\) funziona anche per questa?
iii) Trova una funzione tale che \( \mathcal{F}^{-1}(f) \neq f \) quasi ovunque
Dove con
\[ \mathcal{F}^{-1}(f) (x)= \int_{\mathbb{R}} \widehat{f}(\xi)e^{2\pi i x \xi } d\xi \]
e
\[ \widehat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-2\pi i x \xi } dx \]

Direi che \( \left| \widehat{f} \right| \not\in L^1(\mathbb{R} \), ma questo mi assicura che sono differenti quasi ovunque la trasformata inversa di \(f\) ed \(f\)? Oppure potrebbe essere che siano uguali nonostante \( \left| \widehat{f} \right| \not\in L^1(\mathbb{R} \) ??