Prodotto di convoluzione

[Studente Anonimo]

Siano \(f,g \in L^1 (-\pi,\pi) \) con \( \begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^1} \leq 2 \pi \)
Siano \[ f_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx \]
i) Dimostra che \( \left| 4in + f_n + (-2)^n \right| \geq 1 \)
ii) Trova una soluzione formale espressa in serie complessa di
\[4u'(x) + \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)u(t) dt + 2u(x-\pi) = g(x) \]
iii) Inoltre se \(g \in \mathcal{C}^3(\mathbb{R}) \) e \(2\pi\) periodica, dimostra che la soluzione formale trovata in ii) è \( \mathcal{C}^1([-\pi,\pi]) \).

Ho una domanda per ii)


i)

Abbiamo chiaramente che
\[ \left| f_n \right| \leq \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) \right| dx = \frac{\begin{Vmatrix} f \end{Vmatrix}_{L^1}}{2\pi} \leq 1 \]
Pertanto per \(n=0 \) risulta che
\[ \left| f_0 + 2 \right| \geq 2 - \left| f_0 \right| \geq 1 \]
E per \(n \neq 0 \) abbiamo che
\[ \left| 4ni + f_n + (-2)^n \right| \geq 4\left|n \right|- 2 - \left| f_0 \right| \geq 2 - \left| f_n \right| \geq 1 \]

La domanda è questa:
Le soluzioni mi dicono che
\[ \frac{1}{2\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x-t)u(t) dt = (f \ast u)(x) \]
e non capisco perché. Io direi che
\[ \frac{1}{2\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x-t)u(t) dt = \frac{1}{2\pi}(f \ast u)(x) \]
ii)

Poniamo \[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_n e^{inx} \]
\[ g(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} g_n e^{inx} \]
\[ g_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(x) e^{-inx} dx \]
E poniamo la soluzione formale essere
\[ u(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} u_n e^{inx} \]
con
\[ u_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} u(x) e^{-inx} dx \]
Abbiamo dunque
\[ 4u'(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} 4ni u_n e^{inx} \]
\[ 2u(x-\pi) =\sum_{n=-\infty}^{\infty} 2 u_n e^{inx}e^{-in\pi} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-2)^n u_n e^{inx}\]
Inoltre
\[ \frac{1}{2\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x-t)u(t) dt = \frac{1}{2\pi} (f \ast u)(x) =\frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_nu_n e^{inx} \]
Pertanto la soluzione formale deve soddisfare la sequende relazione
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left( 4ni + \frac{f_n}{2\pi} + (-2)^n \right) u_n e^{inx} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} g_n e^{inx} \]
Dunque
\[ g_n = \left( 4ni + \frac{f_n}{2\pi} + (-2)^n \right) u_n \]
E siccome \( \left| f_n \right| \leq 1 \) abbiamo che a maggior ragione \( \left| \frac{f_n}{2\pi} \right| \leq 1 \) dunque \( \left( 4ni + \frac{f_n}{2\pi} + (-2)^n \right) \geq 1 \) e dunque diverso da zero. Abbiamo dunque che
\[ u_n = \frac{g_n}{\left( 4ni + \frac{f_n}{2\pi} + (-2)^n \right) } \]

Il problema è che le soluzioni mi dicono che
\[ u_n = \frac{g_n}{\left( 4ni +f_n + (-2)^n \right) } \]
perché mi dicono che
\[ \frac{1}{2\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(x-t)u(t) dt = (f \ast u)(x) \]
e non capisco perché.

iii)

Se \(g_n \) è \( \mathcal{C}^3 \) ed è periodica allora esiste \(k \) tale che \( \left| g_n \right| \leq k/n^3\) concludiamo che che la serie
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| u_n e^{inx} \right| \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| g_n \right| \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{k}{n^3} < \infty \]
e allo stesso modo
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left|in u_n e^{inx} \right| \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left|n g_n \right| \leq \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{k}{n^2} < \infty \]
Pertanto siccome le serie convergono assolutamente convergono e dunque \( u(x) \) e \(u'(x)\) convergono ovunque in \( [-\pi,\pi] \).

[Studente Anonimo]

Cioé forse si sono semplicemente dimenticati di dire che \(f\) è \(2\pi\) periodica, in questo caso la soluzione cercata dev'essere necessariamente \( 2 \pi \) periodica? Se sì allora effettivamente per definizione
\[ (f \ast u) (x)= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)u(t) dt \]

[dissonance]

Mi sembra solo una questione di convenzioni, su dove mettere il \(2\pi\). Data una funzione in \(L^1(-\pi, \pi)\), essa si può sempre estendere per periodicità e considerare come una funzione \(2\pi\) periodica su \(\mathbb R\), non ci sono vincoli di continuità da imporre.

[Studente Anonimo]

Hai ragione. È una questione di convenzioni.