Indebolire ipotesi di un esercizio, funziona?

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Siano \( -\infty < a < b <\infty \) e \(f,f_n : (a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) misurabili tale che
1) Per ogni \(n \) abbiamo che \(f,f_n \in L^1(a,b) \) e
2) \[ \lim_{n \to \infty} \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} = 0 \]

Dimostra grazie al teorema della convergenza dominata che
\[ \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n = \int_a^b f \]

Io ho fatto in un modo diverso dalle correzioni senza usare il teorema della convergenza dominata (anche se era richiesto) e mi domandavo se funzionava. Se sì, mi sembra che non utilizzo da nessuna parte l'ipotesi 1).

Abbiamo per definizione del supremum essenziale che quasi ovunque regge la seguente disuguaglianza
\[ \left| f_n -f \right| \leq \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \]
Dunque in particolare, sia dunque \[ E := \{ x \in (a,b) : \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} < \left| f_n -f \right| \} \]
Chiaramente \( \operatorname{mes}(E)=0 \) e dunque \( \int_E \left| f_n -f \right|= 0 \)
\[ \lim_{n \to \infty} \left| \int_a^b f_n - \int_a^b f \right| \leq \lim_{n \to \infty} \int_a^b \left| f_n - f \right| \]
\[ \leq \lim_{n \to \infty} [ \int_{(a,b) \setminus E} \left| f_n - f \right| + \int_{ E} \left| f_n - f \right| ] \]
\[ \leq \lim_{n \to \infty} \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \int_{(a,b) \setminus E} 1 dx \leq \lim_{n \to \infty}\begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}} \operatorname{long}[(a,b)]=0 \]

Funziona?

[dissonance]

Si, certo che funziona, devi fare solo un po' attenzione all'insieme \(E\). A priori esso dipende da \(n\), perché
\[\tag{1}
\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\le \lVert f_n-f\rVert_\infty,\qquad \forall x\notin E_n, \]
dove \(E_n\) è un sottoinsieme di \((a,b)\) di misura nulla. Definendo
\[
E:=\bigcup_{n=1}^\infty E_n, \]
si ottiene un insieme di misura nulla tale che \(\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\le \lVert f_n-f\rVert_\infty\) per ogni \(x\notin E\), e a questo punto si può applicare il tuo ragionamento.

Quanto all'ipotesi \(f\in L^1\), ti serve nel momento stesso in cui scrivi \(\int_a^b f(x)\, dx\). Puoi sostituirla con \(f\ge 0\) quasi ovunque; in tal caso, \(\int_a^b f\, dx\) ha senso, potrebbe essere \(+\infty\). Ma se \(f\) cambia segno, l'integrale potrebbe non avere senso.