Lemma di "Fatou"

[3m0o]

Sia \( u_n \) una successione di funzioni misurabili tali che \( \left| u_n \right| \leq f \) dove \( f \in L^1(\mathbb{R}) \).

i) Dimostra che
\[ \int \lim \inf_{n \to \infty} u_n \leq \lim \inf_{n \to \infty} \int u_n \leq \lim \sup_{n \to \infty} \int u_n \leq \int \lim \sup_{n \to \infty} \]

ii) Calcola i quattro integrali per \( u_{2n} = \chi_{[0,1]} \) e \( u_{2n+1} = \chi_{]1,3] } \).

Allora per il punto i) penso di aver fatto giusto ma non uso l'ipotesi che \(f\in L^1\) quindi qualcosa mi manca.

Poniamo \( v_n = f - u_n \geq 0 \) allora abbiamo che
\[ \int f - \int \lim \sup_{n \to \infty} u_n = \int \lim \inf_{n \to \infty} (f - u_n) = \int \lim \inf_{n \to \infty} v_n \overset{\text{Fatour}}{\leq} \lim \inf_{n \to \infty} \int v_n \]
\[= \lim \inf_{n \to \infty} \int f - \int u_n = \int f - \lim \sup_{n \to \infty} \int u_n \]
Pertanto
\[ \int \lim \sup_{n \to \infty} u_n \geq \lim \sup_{n \to \infty} \int u_n \]

E analogamente per l'altro poniamo \(v_n = f + u_n \geq 0 \) dunque
\[ \int f + \int \lim \inf_{n \to \infty} u_n = \int \lim \inf_{n \to \infty} (f + u_n) = \int \lim \inf_{n \to \infty} v_n \overset{\text{Fatour}}{\leq} \lim \inf_{n \to \infty} \int v_n \]
\[= \lim \inf_{n \to \infty} \int f + \int u_n = \int f + \lim \inf_{n \to \infty} \int u_n \]

Pertanto
\[ \int \lim \inf_{n \to \infty} u_n \leq \lim \inf_{n \to \infty} \int u_n \]
e chiaramente abbiamo che
\[ \lim \inf_{n \to \infty} \int u_n \leq \lim \sup_{n \to \infty} \int u_n \]

Dove devo usare la condizione che \(f \in L^1 \) ??

Per il punto ii) l'ultimo lo sbaglio.

Io ho fatto così.
\( \lim \inf_{n \to \infty} u_n = 0 \), e \( \lim \sup_{n \to \infty} u_n = 1 \) inoltre
\[ \lim \inf_{n \to \infty} \int u_n = \int u_{2n} \]
e
\[ \lim \sup_{n \to \infty} \int u_n = \int u_{2n+1} \]
Dunque abbiamo che
\[ 0 = \int 0 \leq 1= \lim \inf_{n \to \infty} \int u_n \leq 2 =\lim \sup_{n \to \infty} \int u_n \leq \int 1 = + \infty \]
Ma le soluzioni mi dicono che l'ultimo integrale vale \(3\) e non capisco perché.

[Wilde1]

Non ho letto tutto... però ho due domande:
1) Per esempio, se prendo $f\equiv 1$ e $u_n\equiv -1$, ha senso
\[
\int f - \int \lim \sup_{n \to \infty} u_n
\]
2) Perhè, con $u_n$ definita come nell'esercizio, dovrebbe valere
\[
\lim \sup_{n \to \infty} u_n = 1
\]

[3m0o]

Ah già potrebbe arrivare \( \infty - \infty\) quindi il fatto che \(f \in L^1 \) mi assicura che almeno uno degli integrali è finito. E il problema non si pone.

Mentre per 2) sono un pirla, \( \lim \sup u_n = \chi_{[0,3]} \) e \( \lim \inf u_n = \chi_{\{0\}} \) perché è il sup e l'inf di funzioni non il \( \sup_{ x \in \mathbb{R}} u_n(x) \).