Derivabilità di funzioni in due variabili
Buonasera a tutti,
Oggi mi sono imbattuto in una funzione derivabile in un punto in cui le sue derivate parziali non erano definite. Non potendo calcolare il valore per sostituzione diretta, ho usato la definizione. Suppongo sia un caso piuttosto comune, ma mi domando: come studiare la derivabilità di una funzione in due variabili?
Oggi mi sono imbattuto in una funzione derivabile in un punto in cui le sue derivate parziali non erano definite. Non potendo calcolare il valore per sostituzione diretta, ho usato la definizione. Suppongo sia un caso piuttosto comune, ma mi domando: come studiare la derivabilità di una funzione in due variabili?
Risposte
Ciao, conviene che trascrivi il testo completo dell'esercizio e il tuo svolgimento per evitare fraintendimenti.
La funzione è la seguente:
$f(x,y)=(sin^2(x+y)(e^y-1))/(x^2+y^2)$ prolungata per continuità in $(0,0)$ con $f(0,0)=0$. Si chiede di calcolare il gradiente per ogni $(x,y)inRR^2$. In particolare, per $(x,y)=(0,0)$ le derivate parziali non sono definite. Applicando la definizione si ottiene $\nablaf(0,0)=(0,1)^T$.
$f(x,y)=(sin^2(x+y)(e^y-1))/(x^2+y^2)$ prolungata per continuità in $(0,0)$ con $f(0,0)=0$. Si chiede di calcolare il gradiente per ogni $(x,y)inRR^2$. In particolare, per $(x,y)=(0,0)$ le derivate parziali non sono definite. Applicando la definizione si ottiene $\nablaf(0,0)=(0,1)^T$.
Ti rendi conto che è contraddittorio affermare che le derivate parziali non sono definite in $(0,0)$ e poi affermare che $\frac{\partial f}{\partial x} (0,0)=0$ e $\frac{\partial f}{\partial y} (0,0)=1$ (visto che queste ultime due sono le componenti del gradiente)?
C'è qualcosa che non va, uno dei due modi è sbagliato.
Come hai dedotto che le derivate parziali non sono definite nell'origine? Per questo avevo chiesto anche lo svolgimento.
C'è qualcosa che non va, uno dei due modi è sbagliato.
Come hai dedotto che le derivate parziali non sono definite nell'origine? Per questo avevo chiesto anche lo svolgimento.
Ciao Mephlip,
l'esercizio è stato svolto in aula dal mio docente, quindi per quanto possa sembrarmi contraddittorio non posso non pormi due domande.
Il gradiente è stato calcolato $AA(x,y)inRR^2-{(0,0)}$, con le classiche regole di derivazione. Tali derivate risultano non definite proprio in $(0,0)$, punto in cui la funzione è stata prolungata per continuità. La verifica è piuttosto immediata, anche senza calcolarle esplicitamente è evidente come il denominatore sia $(x^2+y^2)^2$. In tal punto quindi, il docente ha applicato la definizione di derivata parziale per trovare il valore assunto, ottenendo $(\partialf)/(\partialx)=0$ e $(\partialf)/(\partialy)=1$.
Ora, provenendo la soluzione dal mio docente, la prendo per corretta. Io avrei semplicemente affermato che la funzione non era derivabile in tal punto. Come stanno le cose?
Grazie ancora!
l'esercizio è stato svolto in aula dal mio docente, quindi per quanto possa sembrarmi contraddittorio non posso non pormi due domande.
Il gradiente è stato calcolato $AA(x,y)inRR^2-{(0,0)}$, con le classiche regole di derivazione. Tali derivate risultano non definite proprio in $(0,0)$, punto in cui la funzione è stata prolungata per continuità. La verifica è piuttosto immediata, anche senza calcolarle esplicitamente è evidente come il denominatore sia $(x^2+y^2)^2$. In tal punto quindi, il docente ha applicato la definizione di derivata parziale per trovare il valore assunto, ottenendo $(\partialf)/(\partialx)=0$ e $(\partialf)/(\partialy)=1$.
Ora, provenendo la soluzione dal mio docente, la prendo per corretta. Io avrei semplicemente affermato che la funzione non era derivabile in tal punto. Come stanno le cose?
Grazie ancora!
Prego! Sono d'accordo col docente, non ero d'accordo con la frase
proprio perché un errore classico che si fa in questo contesto (ma anche in una variabile) è quello di dedurre che le derivate parziali non esistono in un dato punto perché, applicando le regole di derivazione, le espressioni delle derivate parziali non sono definite in quel punto.
Invece poi hai correttamente riportato che le derivate parziali sono state calcolate per ogni $(x,y)\ne(0,0)$ con le regole di derivazione e poi, a parte, sono state calcolate in $(0,0)$ con l'uso della definizione; questo è corretto. La frase, a mio parere, era contraddittoria perché una funzione o non è definita in un punto o vale qualcosa in un punto ("o" in senso esclusivo, non possono verificarsi entrambi i fatti simultaneamente), ma ora, dopo la nostra conversazione, suppongo che forse intendevi "per i teoremi sulla derivabilità so che un rapporto tra funzioni derivabili è derivabile in ogni punto in cui il denominatore non si annulla, perciò con le regole di derivazione ottengo il valore della derivata per ogni $(x,y)\ne(0,0)$; per tale valore non ho informazioni dai teoremi sulla derivabilità, pertanto per studiare la derivabilità in tale punto devo procedere con la definizione.".
Ed è proprio questa imprecisione di linguaggio che, secondo me, ti ha generato la domanda iniziale, ossia "come si studia la derivabilità di una funzione di due variabili?", e la domanda successiva "come stanno le cose?"; uno applica i teoremi dove può, poi dove non può non ha informazioni a priori e quindi rimane solo la definizione.
"RP-1":
In particolare, per $(x,y)=(0,0)$ le derivate parziali non sono definite. Applicando la definizione si ottiene $\nablaf(0,0)=(0,1)^T$.
proprio perché un errore classico che si fa in questo contesto (ma anche in una variabile) è quello di dedurre che le derivate parziali non esistono in un dato punto perché, applicando le regole di derivazione, le espressioni delle derivate parziali non sono definite in quel punto.
Invece poi hai correttamente riportato che le derivate parziali sono state calcolate per ogni $(x,y)\ne(0,0)$ con le regole di derivazione e poi, a parte, sono state calcolate in $(0,0)$ con l'uso della definizione; questo è corretto. La frase, a mio parere, era contraddittoria perché una funzione o non è definita in un punto o vale qualcosa in un punto ("o" in senso esclusivo, non possono verificarsi entrambi i fatti simultaneamente), ma ora, dopo la nostra conversazione, suppongo che forse intendevi "per i teoremi sulla derivabilità so che un rapporto tra funzioni derivabili è derivabile in ogni punto in cui il denominatore non si annulla, perciò con le regole di derivazione ottengo il valore della derivata per ogni $(x,y)\ne(0,0)$; per tale valore non ho informazioni dai teoremi sulla derivabilità, pertanto per studiare la derivabilità in tale punto devo procedere con la definizione.".
Ed è proprio questa imprecisione di linguaggio che, secondo me, ti ha generato la domanda iniziale, ossia "come si studia la derivabilità di una funzione di due variabili?", e la domanda successiva "come stanno le cose?"; uno applica i teoremi dove può, poi dove non può non ha informazioni a priori e quindi rimane solo la definizione.
Chiarissimo. Ti ringrazio per la risposta dettagliata, mi hai aiutato a capire un concetto fondamentale!
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