Sistemi di equazioni
Ciao a tutti, cercouna risposta a un dubbio su cui non riesco bene a rispondermi da solo. Spero in un aiuto e ringrazio anticipatamente.
La mia domanda, come da titolo, si rifà ai sistemi di equazioni e non capisco se vi sia un modo per capire prima quante soluzioni aspettarmi. Vorrei portare alcuni esempi e capire in generale il ragionamento.
Partendo da un sistema lineare mi rendo conto di poter avere una ennupla di valori che sono la mia soluzione, altrimenti ho altri due casi un numero infinito o non ammettere alcuna soluzione (e quindi impossibile)
Se però salgo di grado anche qui in generale esistono, non esistono o sono infinite le soluzioni (sistema indeterminato)
Vorrei soffermarmi sul caso finito e capire se posso stabilirne il numero massimo, ad esempio in un sistema come il seguente sì:
$x^2+y^2=37$
$xy=6$
Mi direi: è di quarto grado, quindi mettendo la seconda nella prima trovo un polinomio di 4 grado e dato che ha 4 radici complesse nel reale ne avrà AL MASSIMO 4 soluzioni se determinato (indeterminato non ci interessa), cioè 4 ennuple (x,y) che lo portano a soluzione. Questo senza svolgere nessun calcolo.
Questo in sistemi polinomiali di qualche grado mi sembra valga sempre, che poi è lo stesso motivo per cui vale anche nel sistema lineare, esso è di grado 1, quindi se determinato al massimo ho una soluzione ad esempio
$3x+y=3$
$x+y=5$
è il sostituire la seconda nella prima che portandomi a un polinomio di grado 1 mi garantise se determinato 1 soluzione
Insomma ho le idee un po' confuse. Potreste per favore aiutarmi a capire meglio se sto dicendo stupidaggini?
La mia domanda, come da titolo, si rifà ai sistemi di equazioni e non capisco se vi sia un modo per capire prima quante soluzioni aspettarmi. Vorrei portare alcuni esempi e capire in generale il ragionamento.
Partendo da un sistema lineare mi rendo conto di poter avere una ennupla di valori che sono la mia soluzione, altrimenti ho altri due casi un numero infinito o non ammettere alcuna soluzione (e quindi impossibile)
Se però salgo di grado anche qui in generale esistono, non esistono o sono infinite le soluzioni (sistema indeterminato)
Vorrei soffermarmi sul caso finito e capire se posso stabilirne il numero massimo, ad esempio in un sistema come il seguente sì:
$x^2+y^2=37$
$xy=6$
Mi direi: è di quarto grado, quindi mettendo la seconda nella prima trovo un polinomio di 4 grado e dato che ha 4 radici complesse nel reale ne avrà AL MASSIMO 4 soluzioni se determinato (indeterminato non ci interessa), cioè 4 ennuple (x,y) che lo portano a soluzione. Questo senza svolgere nessun calcolo.
Questo in sistemi polinomiali di qualche grado mi sembra valga sempre, che poi è lo stesso motivo per cui vale anche nel sistema lineare, esso è di grado 1, quindi se determinato al massimo ho una soluzione ad esempio
$3x+y=3$
$x+y=5$
è il sostituire la seconda nella prima che portandomi a un polinomio di grado 1 mi garantise se determinato 1 soluzione
Insomma ho le idee un po' confuse. Potreste per favore aiutarmi a capire meglio se sto dicendo stupidaggini?
Risposte
Un sistema di equazioni algebriche intere ha al più tante soluzioni quante il prodotto dei gradi delle singole equazioni.
Buongiorno gugo82, ringrazio per la risposta.
Ammetto che mi ero scordato dal biennio la definizione di grado del sistemae delle soluzioni annesse, ora che hai fatto il punto mi è tornato in mente.
Vorrei poterti chiedere, se hai ancora voglia di parlarne, due chiarimenti in merito... un po' per fissare meglio le idee e non fermarmi solo a una comprensione sommaria:
- la prima domanda è che non capisco perché non dipenda dal grado del polinomio che "compone" l'equazione. Infatti, sapendo che un polinomio di grado n ha n soluzioni (almeno nei complessi), quando risolvo il sistema sostituisco nelle varie incognite dell'equazione di grado più elevato (mettiamo n) le n-1 incognite rimanenti e ottengo un polinomio tutto in x di grado n. A questo punto per il teormeafondamentale dell'algebra avrei le n soluzioni complesse. Insomma, di primo acchito avrei detto che in numero di soluzioni dipende dal massimo grado dei polinomi che compongono le varie equazioni del sistema. Ma dove è l'errore in questo ragionamento?
- non ricordo la dimostrazione del tuo asserto, magari mi è stata fatta a suo tempo ma l'ho dimenitcata e non riesco a recuperarla. COmeposso quindi dimostrare e capire quello che mi hai detto? (forsepotrei mostrarlo con un metodo simile aquanto scrivevo sopra, ma mi sembra corretto quanto dicevo ma evidentemente non è così e vorrei tanto capire
)
Grazie mille
PS: mi sono accorto solo ora che c'era una stanza dedicata alle superiori, spero di non aver fatto troppo danno postando in "analisi". Scusate
Ammetto che mi ero scordato dal biennio la definizione di grado del sistemae delle soluzioni annesse, ora che hai fatto il punto mi è tornato in mente.
Vorrei poterti chiedere, se hai ancora voglia di parlarne, due chiarimenti in merito... un po' per fissare meglio le idee e non fermarmi solo a una comprensione sommaria:
- la prima domanda è che non capisco perché non dipenda dal grado del polinomio che "compone" l'equazione. Infatti, sapendo che un polinomio di grado n ha n soluzioni (almeno nei complessi), quando risolvo il sistema sostituisco nelle varie incognite dell'equazione di grado più elevato (mettiamo n) le n-1 incognite rimanenti e ottengo un polinomio tutto in x di grado n. A questo punto per il teormeafondamentale dell'algebra avrei le n soluzioni complesse. Insomma, di primo acchito avrei detto che in numero di soluzioni dipende dal massimo grado dei polinomi che compongono le varie equazioni del sistema. Ma dove è l'errore in questo ragionamento?
- non ricordo la dimostrazione del tuo asserto, magari mi è stata fatta a suo tempo ma l'ho dimenitcata e non riesco a recuperarla. COmeposso quindi dimostrare e capire quello che mi hai detto? (forsepotrei mostrarlo con un metodo simile aquanto scrivevo sopra, ma mi sembra corretto quanto dicevo ma evidentemente non è così e vorrei tanto capire
)Grazie mille
PS: mi sono accorto solo ora che c'era una stanza dedicata alle superiori, spero di non aver fatto troppo danno postando in "analisi". Scusate
Il problema in generale non è facile, ma nei casi semplici come quello del sistema $\{ (x^2 + y^2 = 37), (x y = 6):}$ puoi ragionare come segue: ad ogni soluzione $bar(x)$ dell'equazione risolvente in $x$ del sistema, che ha grado $n*m=2*2=4$, puoi accoppiare la soluzione $bar(y)$ che si trova risolvendo rispetto ad $y$ una delle due equazioni del sistema in cui hai sostituito $x = bar(x)$.
Se la risolvente ha $4$ soluzioni (reali o complesse), ad ognuna, diciamola $bar(x)$, di esse puoi accoppiare l'unica soluzione dell'equazione $bar(x) * y = 6$. In tal modo ottieni $4$ coppie ordinate $(bar(x), bar(y))$ che sono le soluzioni del tuo sistema.
Potrei spostare in Algebra, ma dipende da quale livello di trattazione dell'argomento ti interessa effettivamente.
Se la risolvente ha $4$ soluzioni (reali o complesse), ad ognuna, diciamola $bar(x)$, di esse puoi accoppiare l'unica soluzione dell'equazione $bar(x) * y = 6$. In tal modo ottieni $4$ coppie ordinate $(bar(x), bar(y))$ che sono le soluzioni del tuo sistema.
Potrei spostare in Algebra, ma dipende da quale livello di trattazione dell'argomento ti interessa effettivamente.
"gugo82":
Potrei spostare in Algebra, ma dipende da quale livello di trattazione dell'argomento ti interessa effettivamente.
No beh in realtà sono a un livello molto base
Ricapitolando quindi, vediamo se dico bene:
Se partissi da (supposto y diverso da zero) caso più generale del mio
$\{ (x^2 = 37 - y^2), (x = 6/y):}$
devo portarmi in forma normale nella prima e nella seconda in forma intera, ossia giungo al
$\{ (x^2 + y^2 = 37), (x y = 6):}$
Qui trovo il grado delsistema che come già detto sarebbe 4 quindi mi aspetto al più 4 soluzioni
Perché? Beh, mi rispondo: perché sostituendo la y ricavata dalla seconda nella prima ho una equazione in x di 4 grado (quindi 4 soluzioni al max), e a queste 4 risolventi x' associo una y' cioè ho 4 ennuple.
Un discorso analogo vale in generale
Giusto? Spero
Grazie ancora gugo82!
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