Dubbio su serie
Devo studiare il carattere della serie $\sum_{n=2}^infty log^(5)n/(n^2)$. L'esercizio suggerisce di fare il confronto asintotico con la successione $b_n=1/n^(3/2)$.
Potrste spiegarmi perchè funziona proprio quel tipo di successione e come bisognerebbe dedurlo? Perchè non funziona ad esempio $1/n$ oppure $1/n^2$?
Potrste spiegarmi perchè funziona proprio quel tipo di successione e come bisognerebbe dedurlo? Perchè non funziona ad esempio $1/n$ oppure $1/n^2$?
Risposte
Come si calcola l'ordine di infinitesimo della successione degli addendi?
Non saprei risponderti, dalle dispense d cui studio non si parla di questo. Ti chiederei gentilmente se me lo potessi spiegare o linkarmi qualche spiegazione.
Le dispense non servono.[nota]A meno di rare eccezioni.[/nota]
Prendi un libro, uno serio. E studia.
Prendi un libro, uno serio. E studia.
Ciao ZfreS,
A parte il fatto che la serie proposta non è altro che la ben nota serie armonica generalizzata di tipo II $\sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n^{\alpha} ln^{\beta}n) $ con $\alpha = 2 $ e $\beta = - 5 $ che è convergente (per dimostrarlo basta applicare il criterio di condensazione di Cauchy), si può dimostrare che è convergente anche partendo dalla ben nota disuguaglianza $ln x < x $; infatti posto $x := n^a $, $\AA a > 0 $ si ha:
$ln n^a < n^a \implies ln n < n^a/a \implies ln^5 n < n^{5a}/a^5 $
Dato che si può scegliere qualsiasi valore di $a > 0 $, scegliamo per comodità $a = 1/10 $, sicché si ha:
$ ln^5 n < n^{1/2}/(1/10)^5 = 10^5 n^{1/2} $
In definitiva si può scrivere:
$ \sum_{n=2}^{+\infty} (ln^5 n)/(n^2) < 10^5 \sum_{n=2}^{+\infty} (n^{1/2})/(n^2) = 10^5 \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} $
L'ultima serie scritta non è altro che la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 > 1 $ che parte da $n = 2 $, notoriamente convergente. Per la precisione si ha:
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^{3/2} = \zeta(3/2) \implies 1 + \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} = \zeta(3/2) \implies \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} = [\zeta(3/2) - 1] $
ove $\zeta(z) $ è la funzione zeta di Riemann.
A parte il fatto che la serie proposta non è altro che la ben nota serie armonica generalizzata di tipo II $\sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n^{\alpha} ln^{\beta}n) $ con $\alpha = 2 $ e $\beta = - 5 $ che è convergente (per dimostrarlo basta applicare il criterio di condensazione di Cauchy), si può dimostrare che è convergente anche partendo dalla ben nota disuguaglianza $ln x < x $; infatti posto $x := n^a $, $\AA a > 0 $ si ha:
$ln n^a < n^a \implies ln n < n^a/a \implies ln^5 n < n^{5a}/a^5 $
Dato che si può scegliere qualsiasi valore di $a > 0 $, scegliamo per comodità $a = 1/10 $, sicché si ha:
$ ln^5 n < n^{1/2}/(1/10)^5 = 10^5 n^{1/2} $
In definitiva si può scrivere:
$ \sum_{n=2}^{+\infty} (ln^5 n)/(n^2) < 10^5 \sum_{n=2}^{+\infty} (n^{1/2})/(n^2) = 10^5 \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} $
L'ultima serie scritta non è altro che la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 > 1 $ che parte da $n = 2 $, notoriamente convergente. Per la precisione si ha:
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/n^{3/2} = \zeta(3/2) \implies 1 + \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} = \zeta(3/2) \implies \sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^{3/2} = [\zeta(3/2) - 1] $
ove $\zeta(z) $ è la funzione zeta di Riemann.
"gugo82":
Le dispense non servono.
Prendi un libro, uno serio. E studia.
[ot]Sono d'accordo che si studia sui libri. Ma non sono d'accordo che le dispense non servono. Anzi... almeno dove studio io, i corsi senza dispensa spesso sono un "suicidio".[/ot]
Pilloeffe, grazie tante! Non avevo proprio prestato attenzione alla serie armonica, perchè ripeto, dalle dispense da cui studio la versione di quella serie era ridotta a $\sum_{n = 2}^{+\infty} 1/ ln^{\alpha}n$. Seguirò l'indicazione di gugo, perchè in effetti le dispense non sono complete. Tornando all'esercizio, se non sbaglio hai applicato il criterio del confronto ricavando la $b_n$ più furba. Volevo sapere se in questo esercizio si potesse applicare il criterio del confronto asintotico, in questo caso il prblema sarebbe trovare una funzione asintoticamente equivalente a $ln^5n/(n^2)$
@ 3m0o: [ot]
Sono d'accordo che si studia sui libri. Ma non sono d'accordo che le dispense non servono. Anzi... almeno dove studio io, i corsi senza dispensa spesso sono un "suicidio".[/quote]
Certo, se uno si occupa già durante la laurea magistrale di argomenti molto vicini alla ricerca o comunque molto avanzati... Ma qui si parla di Analisi I, e d'una nozione di base di Analisi I.[/ot]
@ ZfreS: La successione di cui parli, se ti limiti a considerare l'infinitesimo campione usuale $1/n$, non esiste... Proprio questo è il punto.
"3m0o":
[quote="gugo82"]Le dispense non servono.
Prendi un libro, uno serio. E studia.
Sono d'accordo che si studia sui libri. Ma non sono d'accordo che le dispense non servono. Anzi... almeno dove studio io, i corsi senza dispensa spesso sono un "suicidio".[/quote]
Certo, se uno si occupa già durante la laurea magistrale di argomenti molto vicini alla ricerca o comunque molto avanzati... Ma qui si parla di Analisi I, e d'una nozione di base di Analisi I.[/ot]
@ ZfreS: La successione di cui parli, se ti limiti a considerare l'infinitesimo campione usuale $1/n$, non esiste... Proprio questo è il punto.
"ZfreS":
L'esercizio suggerisce di fare il confronto asintotico con la successione $b_n=1/n^(3/2)$.
Potrste spiegarmi perchè funziona proprio quel tipo di successione e come bisognerebbe dedurlo? Perchè non funziona ad esempio $1/n$ oppure $1/n^2$?
Il criterio del confronto asintotico ha due casi particolari, nel senso che tipicamente viene enunciato così: siano $a_n$ e $b_n$ due successioni tali che $a_n \geq 0$, $b_n >0$ definitivamente. Se
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\mathcal{l}\in(0,\infty)$$
Allora
$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n \ \text{si comporta come} \ \sum_{n=0}^{\infty} b_n$$
Dove con "si comporta" intendo il tipico senso che ha questa frase nel contesto della convergenza di serie.
Tuttavia ci sono i casi particolari in cui tale limite è $0$ o $\infty$; in tal caso si può comunque dedurre qualcosa, in particolare se
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=0$$
Allora
$$\sum_{n=0}^{\infty} b_n < \infty \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} a_n < \infty$$
E questo è immediato vederlo dalla dimostrazione del criterio del confronto asintotico
Quindi quella scelta "esotica" di $b_n=\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}$ è data dal volersi ricondurre a questo caso particolare, cercando un esponente del termine generico di una serie serie armonica intermedio tra $1$ e $2$ (in modo che si abbia la convergenza della serie associata) con $b_n \to 0$ per $n \to \infty$.
Consiglio: non ha senso cercare di usare il criterio del confronto asintotico se non si capisce prima come funzionano gli ordini di infinitesimo, quindi rimando alla domanda che ti ha già fatto gugo82.
Bene, posso dire di aver chiarito questi dubbi, e aver approfondito bene la teoria che c'è dietro come sugerito. Vorrei soffermarmi su una cosa: è vero che dei libri non se ne può fare a meno, ma ad essi vanno affiancati anche le dispense più utili, faccio un esempio: ho ben 3 libri di analisi 1, am in nessuno di questi, per quant riguarda le successioni, non si parla di due criteri: quello del rapporto e quello della radice. Nelle dispense che seguo, al contrario, vengono trattati con tanto di dimostrazione e viene anche enunciato un altro teorema che non sono riuscito a reperire in rete: se $a_n$ è una successione definitivamente positiva e $lim_(n->+infty)(a_(n+1))/a_n$ è finito, allora anche $lim_(n->+infty)root(n)(a_n)$ assume lo stesso limite. (Se gentilmente qualcuno conoscesse il nme di questo, me lo dica). Magari questi risultati per esperti in matematica si ricavano a occhio, ma per uno studente alle prime armi con la teoria seria, non avere scritti in un libro questi criteri è un grande svantaggio, in quanto con questi si dimostrano certi limiti che altrimenti richiederebbero una dimostrazione molto più complicata.
Quali sono i tre libri?
I principali che ho utilizzato sono il Pagani-Salsa e il Bertsh-Dal Passo per chiarimenti, poi come rifermento ulteiore per approfonidre qualcosa o cercare ciò che non c'è nei pirmi due uso il De Marco, ma anche in questo alcuni elementi delle dispense non sono presenti.
"ZfreS":
Vorrei soffermarmi su una cosa: è vero che dei libri non se ne può fare a meno, ma ad essi vanno affiancati anche le dispense più utili, faccio un esempio: ho ben 3 libri di analisi 1
Io ne ho tipo otto a stampa e diversi altri in copia elettronica.
"ZfreS":
[...] ma in nessuno di questi, per quanto riguarda le successioni, non si parla di due criteri: quello del rapporto e quello della radice.
Beh, certo.
Io ho solo il testo di Alvino & Trombetti che lo dimostra e non l'ho mai fatto a lezione.
"ZfreS":
Nelle dispense che seguo, al contrario, vengono trattati con tanto di dimostrazione
Che poi è la stessa (ma usata parzialmente) dei medesimi criteri per le serie.
Non difficile.
"ZfreS":
[...] e viene anche enunciato un altro teorema che non sono riuscito a reperire in rete: se $a_n$ è una successione definitivamente positiva e $lim_(n->+infty)(a_(n+1))/a_n$ è finito, allora anche $lim_(n->+infty)root(n)(a_n)$ assume lo stesso limite. (Se gentilmente qualcuno conoscesse il nme di questo, me lo dica).
Se non ricordo male è una conseguenza dei teoremi di Cesàro sulle medie.
"ZfreS":
Magari questi risultati per esperti in matematica si ricavano a occhio, ma per uno studente alle prime armi con la teoria seria, non avere scritti in un libro questi criteri è un grande svantaggio, in quanto con questi si dimostrano certi limiti che altrimenti richiederebbero una dimostrazione molto più complicata.
All'inizio sono le dimostrazioni complicate ad essere formative.
L'eleganza si impara col tempo.
P.S.: Dove studi? Tanto per curiosità... Libero di non rispondere, ovviamente.
Le dimostrazioni complicate che intendo in questo caso, sono difficli perchè macchinose. Faccio un esempio: voglio calcolare $lim_(n->+infty)(a^n)/(n!)$. La dimostrazione che riporta il mio libro neanche la ricordo per quanto macchinosa, ma ricordo con semplicità che basta applicare il criterio del rapporto ottenendo $(a^(n+1))/((n+1)!)(n!)/n$ che diventa $a/(n+1)$ che per $n->+infty$ tende a $0$. Semplice e pulito. Se non fosse stato per quelle belle dispense, questo limite sarebbe finito nell'elenco delle cose mai capite, che per fortuna si sta riducendo grazie ad esse e a voi utenti del forum. Certo è che, avrei potuto dedurre lo stesso criterio guardando quello per le serie e modificando leggermente la dimostrazione.
Ti dico anche che studio informatica. Sebbene per passare a pieni voti l'esame scritto e orale bastino già le mie conoscenze di analisi 1, io voglio comunque avere una preparazione in matematica ai livelli di uno studente di matematica! Perciò mi tocca colmare tutto il gap che c'è tra gli approcci alla materia (all'esame orale sono richieste solo poche dimostrazioni, altro che studiarne diverse per selezionare la più bella).
Ti dico anche che studio informatica. Sebbene per passare a pieni voti l'esame scritto e orale bastino già le mie conoscenze di analisi 1, io voglio comunque avere una preparazione in matematica ai livelli di uno studente di matematica! Perciò mi tocca colmare tutto il gap che c'è tra gli approcci alla materia (all'esame orale sono richieste solo poche dimostrazioni, altro che studiarne diverse per selezionare la più bella).
È proprio questo il punto, ZfreS.
Tu ritieni che una "macchinetta" come il Criterio del Rapporto ti abbia fatto capire qualcosa, ma in realtà non è così: hai fatto solo un calcolo.
Tu ritieni che una "macchinetta" come il Criterio del Rapporto ti abbia fatto capire qualcosa, ma in realtà non è così: hai fatto solo un calcolo.
Certo, non ho capito a fondo il perché di quello, ma questo varrebbe per tutti gli esercizi in cui si applicano formule anziché risolverli "a mano"
"ZfreS":
Certo, non ho capito a fondo il perché di quello, ma questo varrebbe per tutti gli esercizi in cui si applicano formule anziché risolverli "a mano"
Esempio?
Un esempio può essere quello del calcolo di un integrale definito, trovando prima una primitiva e poi valutandola agli estremi di integrazione piuttosto che calcolarlo usando la definizione di limite delle somme superiori e inferiori.
"ZfreS":
Un esempio può essere quello del calcolo di un integrale definito, trovando prima una primitiva e poi valutandola agli estremi di integrazione piuttosto che calcolarlo usando la definizione di limite delle somme superiori e inferiori.
Certo, potrebbe essere... Peccato però che prima di calcolare un integrale definito, uno di solito dimostra il legame tra calcolo delle primitive e calcolo degli integrali, e questo è il punto di arrivo della teoria.
Quindi quando applichi la Formula Fondamentale del Calcolo Integrale sai benissimo cosa, come e perché succede quello che succede.
Più che altro, l'uso del Criterio del Rapporto per dimostrare che $lim_n (a^n)/(n!) = 0$ mi sembra come usare il Teorema di de l'Hopital per dimostrare che $lim_(x -> 0) (sin x)/x = 1$.
Certo gugo, capisco cosa intendi. Puoi anche studiare la dimostrazione facendo a meno del criterio del rapporto, ma nel lungo termine, per ricordarla usi la dimostrazione con il criterio del rapporto.
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