Sulla non derivabilità

[scaty]

Ciao a tutti, apro la mia presenza in questo forum con una domanda banale ma di cui vorrei discutere per afferrare meglio il concetto che ci sta dietro.

Immaginando una funzione a tratti:

$y=5$ per x<1
$y=2$ perx >=1

essendo non continua è sicuramente (teorema) non derivabile in quanto derivabilità implica continuità.

Se però pensassi banalmente di derivare le due funzioni costanti anche trovo che varrebbe 0 la derivata in ogni suo tratto.
Quello che mi chiedo è quindi perché in tal caso non estendere il concetto di derivata anche nel puno 1? Non riesco ad afferrare appieno perché imporre che non sia derivabile in quanto non continua, alla fine il rapporto incrementale è identico facendolo tendere al punto incriminato.

RIngrazio per gli aiuti

[gugo82]

"sempronino":Immaginando una funzione a tratti:

$y=5$ per x<1
$y=2$ perx >=1

essendo non continua è sicuramente (teorema) non derivabile in quanto derivabilità implica continuità.

Se però pensassi banalmente di derivare le due funzioni costanti anche trovo che varrebbe 0 la derivata in ogni suo tratto.
Quello che mi chiedo è quindi perché in tal caso non estendere il concetto di derivata anche nel puno 1?

Perché sai che la funzione non è derivabile.

"sempronino":Non riesco ad afferrare appieno perché imporre che non sia derivabile in quanto non continua [...]

Non stai imponendo nulla, stai deducendo dalla teoria, che è cosa diversa.

"sempronino":[...] alla fine il rapporto incrementale è identico facendolo tendere al punto incriminato.

Questo non è vero.

Infatti, il rapporto incrementale di $f$ centrato in $1$ è definito per casi anche lui ed è dato da:
\[
\begin{split}
\frac{f(x) - f(1)}{x-1} &:= \begin{cases} \frac{5 - 5}{x-1} &\text{, se } x \geq 1 \\ \frac{2 - 5}{x-1} &\text{, se } x < 1 \end{cases} \\
&= \begin{cases} 0 &\text{, se } x \geq 1 \\ - \frac{3}{x-1} &\text{, se } x < 1 \end{cases}
\end{split}
\]
e si vede che:
\[
\lim_{x\to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{x\to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = + \infty
\]
cosicché il limite del rapporto incrementale per $x -> 1$ non esiste.

[scaty]

"gugo82":
Questo non è vero.

Infatti, il rapporto incrementale di $f$ centrato in $1$ è definito per casi anche lui ed è dato da:
\[
\begin{split}
\frac{f(x) - f(1)}{x-1} &:= \begin{cases} \frac{5 - 5}{x-1} &\text{, se } x \geq 1 \\ \frac{2 - 5}{x-1} &\text{, se } x < 1 \end{cases} \\
&= \begin{cases} 0 &\text{, se } x \geq 1 \\ - \frac{3}{x-1} &\text{, se } x < 1 \end{cases}
\end{split}
\]
e si vede che:
\[
\lim_{x\to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{x\to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x-1} = + \infty
\]
cosicché il limite del rapporto incrementale per $x -> 1$ non esiste.

Ok ho aperto bene con una bella figuraccia!

In effetti non avevo fatto il calcolo esplicito e vedendo due rette parallele a x mi dicevo "dato che la derivata è brutalmente la pendenza (coeff. angolare)" è sempre nulla in entrambe i casi (le vedo piatte entrambe ).

Morale della favola: fare sempre il conto se si è asini!

[gugo82]

Non preoccuparti.

Il problema è che applichi inconsciamente un risultato della teoria che discende dal Teorema di de l'Hôpital, ma che in questo caso è inapplicabile.
Il risultato è il seguente:

Siano $I sube RR$ un intervallo non degenere, $x_0$ un punto di $I$ ed $f: I -> RR$.
Se $f$ è una funzione continua nell'intervallo $I$ e derivabile in $I - \{ x_0\}$ e se la funzione $f^\prime$ è convergente in $x_0$ da sinistra [risp. da destra], allora la $f$ è derivabile in $x_0$ da sinistra [risp. da destra].
In particolare, se $x_0$ è interno ad $I$ e se $f^\prime$ converge in $x_0$, allora $f$ è derivabile in $x_0$ e risulta $f^\prime (x_0) = lim_(x -> x_0) f^\prime (x)$.

e la dimostrazione si fa applicare il teorema del marchese al rapporto incrementale.
Tuttavia, questo risultato è inapplicabile al caso in esame, perché in $x_0=1$ la funzione non è continua (nonostante la derivata prima sia convergente in $1$).

[scaty]

Grazie ancora , in effetti l'intuizione errata credo fosse proprio quella. Domani voglio cimentarmici nella dimostrazione.

Nel frattempo leggendo quanto hai scritto mi è sorta una domanda. Proprio oggi girovagando nel web sono finito su un forum (purtroppo non riesco più a trovarlo, mi pare fosse quello delle olimpiadi di matematica, ma poco importa) di cui ho fissato a mente un intervento e una risposta di un asserto che mi sembra molto simile al tuo.
Posso chiederti, gentilmente, se va sotto anche questo nome.

Vado a memoria, ma in sostanza si diceva che:

"Teorema di Darboux: sia una funzione f continua, se esiste finito il limite della derivata allora la funzione è derivabile"

Mi sembra mal esposto quello che dicevi tu, solo che era nominato "Darboux"; ho cercato a riguardo però né sul libro nè su altre pagine web ho trovato risposta. Per serendipità mi è capitato di reincontrarlo sotto altra forma nel tuo asserto.. chissà che risolvo l'arcano

Per intanto grazie e buona serata!

[gugo82]

Non conosco la paternità del teorema, ma quello che è certo è che i teoremi non portano i nomi dei propri scopritori...
Quello che so è che è un corollario immediato del teorema del marchese e non ho mai dovuto affibbiargli un nome per ricordarlo.

[scaty]

In effetti la dimostrazione era davvero immediata e ti ringrazio di avermelo fatto notare sei stato gentilissimo!

Certo, hai perfettamente ragione, in realtà del nome interessa pochissimo, mi aveva solo incuriosito

Veramente, grazie per le tue risposte, sono contento di aver capito