Particella su un anello - coordinate cilindriche
Quando bisogna risolvere l'equazione di Schrödinger per la particella su un anello, data la simmetria del sistema è conveniente passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate cilindriche. Quindi, l'operatore laplaciano diventa da
$$ \nabla^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} $$
a
$$ \nabla^2 = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r \dfrac{\partial}{\partial r} \right) + \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2} $$
Sapendo che $ x = r \cos \phi $ e $y = r \sin \phi$, da dove devo partire per passare da una forma all'altra?
$$ \nabla^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} $$
a
$$ \nabla^2 = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r \dfrac{\partial}{\partial r} \right) + \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2} $$
Sapendo che $ x = r \cos \phi $ e $y = r \sin \phi$, da dove devo partire per passare da una forma all'altra?
Risposte
Beh, si tratta di fare un po' di conti (che, tra l'altro, mi pare di aver già fatto in passato ma non riesco a ritrovare...).
Come si scrivono gli operatori di derivazione $(partial)/(partial x)$ e $(partial)/(partial y)$ rispetto a $(partial)/(partial r)$ e $(partial)/(partial phi)$?
Come si scrivono gli operatori di derivazione $(partial)/(partial x)$ e $(partial)/(partial y)$ rispetto a $(partial)/(partial r)$ e $(partial)/(partial phi)$?
Questo non ce l'hanno spiegato... sia il libro che il docente ci hanno dato la formula così come è, senza passaggi intermedi per passare dall'una all'altra
Allora falli da te.
D'altra parte, si studia autonomamente per questo.
D'altra parte, si studia autonomamente per questo.

Ciao Mimic,
Credo di averlo trovato, eccolo.
"gugo82":
Beh, si tratta di fare un po' di conti (che, tra l'altro, mi pare di aver già fatto in passato ma non riesco a ritrovare...)
Credo di averlo trovato, eccolo.
Grazie mille!
"pilloeffe":
Ciao Mimic,
[quote="gugo82"]Beh, si tratta di fare un po' di conti (che, tra l'altro, mi pare di aver già fatto in passato ma non riesco a ritrovare...)
Credo di averlo trovato, eccolo.[/quote]
Ricordavo bene!
Grazie per lo scavo archeologico, pilloeffe.