Continuità integranda e o-piccolo

[thedarkhero]

Sia $f:RR \to RR$ una funzione continua in $\bart$.
Vorrei dimostrare che $\int_{\bart}^t f(s)ds=|t-\bart|f(\bart)+o(|t-\bart|)$.
L'unica cosa che mi viene in mente è osservare che $\lim_{t \to \bart}\frac{\int_{\bart}^t f(s)ds}{|t-\bart|}=f(\bart)$.
Come posso utilizzare questo fatto per dimostrare la tesi?

[Mephlip]

Proverei come segue: poniamo $F(t):=\int_{\bar{t}}^t f(s)\text{d}s$, supponiamo senza perdita di generalità $t>\bar{t}$ e sia $\varepsilon>0$. Per la continuità di $f$ in $\bar{t}$, esiste $\delta_{\varepsilon}>0$ tale che $|t-\bar{t}|<\delta_{\varepsilon} \implies f(\bar{t})-\varepsilon $$F'(\bar{t})=\lim_{t \to \bar{t}} \frac{\int_{\bar{t}}^t f(s)\text{d}s-\int_{\bar{t}}^{\bar{t}} f(s)\text{d}s}{t-\bar{t}}=\lim_{t \to \bar{t}} \frac{\int_{\bar{t}}^t f(s)\text{d}s}{t-\bar{t}}$$
Dato che $t \to \bar{t}$, possiamo assumere $|t-\bar{t}|<\delta_{\varepsilon}$ e quindi, dalla continuità di $f$ in $\bar{t}$ e dalla monotonia del limite e della funzione integrale, segue:
$$f(\bar{t})-\varepsilon \le \lim_{t \to \bar{t}} \frac{\int_{\bar{t}}^t f(s)\text{d}s}{t-\bar{t}}\le f(\bar{t})+\varepsilon$$
Per l'arbitrarietà di $\varepsilon>0$, segue che $F'(\bar{t})=f(\bar{t})$. Che poi è quello che hai già notato tu. Dunque, il risultato dovrebbe seguire dallo sviluppo di Taylor di $F$ con resto di Peano centrato in $t=\bar{t}$ e arrestato al primo ordine.

Ho fatto così perché, all'inizio, volevo usare direttamente il teorema fondamentale del calcolo integrale ma poi mi sono ricordato che tu chiedi la continuità solo in $\bar{t}$. Se non ti torna dimmi pure, magari mi sono perso qualche ipotesi su Taylor e questa strada non funziona.

[thedarkhero]

Il tuo ragionamento mi sembra corretto. Me ne è venuto in mente un altro, dimmi cosa ne pensi.

Ho che $\int_{\bart}^t f(s)ds = |t-\bart|f(\bart)-|t-\bart|f(\bart)+\int_{\bart}^t f(s)ds$.
Mi rimarrebbe dunque da mostrare che $-|t-\bart|f(\bart)+\int_{\bart}^t f(s)ds = o(|t-\bart|)$.
Ma questo è vero in quanto $lim_{t \to \bart} \frac{-|t-\bart|f(\bart)+\int_{\bart}^t f(s)ds}{|t-\bart|}=lim_{t \to \bart} (-f(\bart)+\frac{\int_{\bart}^t f(s)ds}{|t-\bart|})=-f(\bart)+f(\bart)=0$.

Cosa ne dici?

[Mephlip]

Sì, anche così mi sembra valido!

[gugo82]

Scusate, ma è il Teorema della Media...

Hai:

$int_(bar(t))^t f(tau) "d" tau = f(t_theta) (t-bar(t))$

con $t_theta = theta t + (1-theta) bar(t)$ e $theta in [0,1]$; dunque:

$int_(bar(t))^t f(tau) "d" tau - f(bar(t)) *(t-bar(t)) = [f(t_theta) - f(bar(t))] * (t-bar(t)) = "o"(1) * (t - bar(t)) = "o"(t-bar(t))$.

[Mephlip]

Ci ho pensato al teorema della media, ma mi ha frenato il fatto che thedarkhero richiede la continuità solo in $\bar{t}$. Ripensando alla dimostrazione, senza continuità nell'intervallo non ho il teorema dei valori intermedi e quindi non ho certezza dell'esistenza di $t_{\theta}$ tale che la media integrale coincida con $f(t_\theta)$, o no?

[gugo82]

Avevo letto male, ma la sostanza non cambia granché, mi pare...
Per comodità, chiamo $I(t)$ l'intervallo di estremi $t$ e $bar(t)$ e:

$m(t) := "inf"_(I(t)) f$ e $M(t) := "sup"_(I(t)) f$

di modo che $f(bar(t)) in [m(t), M(t)]$ ed $"osc"_(I(t)) f := M(t) - m(t) -> 0$ per $t -> bar(t)$ per continuità in $bar(t)$.
Per il teorema della media, esiste $lambda in [m(t), M(t)]$ tale che:

$int_(bar(t))^t f(tau) "d" tau = lambda (t - bar(t))$,

quindi:

$| int_(bar(t))^t f(tau) "d" tau - f(bar(t)) *(t - bar(t))| = |lambda - f(bar(t))|*|t - bar(t)|$

con $|lambda - f(bar(t))| <= "osc"_(I(t)) f -> 0$.
Che dici?