Funzione lipschitziana e succesione di Cauchy

[Angus1956]

Sia $f:X->Y$ lipschitziana. Se $x_n$ è una successione di Cauchy in $X$ allora $f(x_n)$ è una successione di Cauchy in $Y$.
Per definizione di successione di Cauchy in $X$ si ha che $AAepsilon>0$ $EE\bar k$ tale che $AAh,k>\bar k$ si ha $d_x(x_h,x_k)=0$ tale che $AAh,kinNN$ si ha $d_y(f(x_h),f(x_k))<=Ld_x(x_h,x_k)$. Ma allora $EE\bar k$ tale che $AAh,k>\bar k$ si ha $d_y(f(x_h),f(x_k))<=Ld_x(x_h,x_k)

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Risposte

otta96

8 feb 2023, 13:38

Si, se vuoi farne una versione più avanzata sostituisci all'ipotesi di lipschitzianità l'ipotesi di continuità uniforme.

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Fioravante Patrone1

11 feb 2023, 08:34

E a questo punto, invece degli spazi metrici, puoi usare spazi dotati di una struttura uniforme

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otta96

11 feb 2023, 10:27

Ah certo

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Angus1956

12 feb 2023, 11:00

"otta96":Si, se vuoi farne una versione più avanzata sostituisci all'ipotesi di lipschitzianità l'ipotesi di continuità uniforme.

L'ho già toccata in analisi 1 quanto riguarda le successioni di Cauchy in $RR$, mi ricordo che la dimostrazione è molto etnica ma bisogna solo usare le definizioni di successione di Cauchy ed incastrarle fra loro ed il gioco è fatto. Credo si faccia lo stesso anche in casi di spazi metrici.

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[otta96]

Si, se vuoi farne una versione più avanzata sostituisci all'ipotesi di lipschitzianità l'ipotesi di continuità uniforme.

[Fioravante Patrone1]

E a questo punto, invece degli spazi metrici, puoi usare spazi dotati di una struttura uniforme

[otta96]

Ah certo

[Angus1956]

"otta96":Si, se vuoi farne una versione più avanzata sostituisci all'ipotesi di lipschitzianità l'ipotesi di continuità uniforme.

L'ho già toccata in analisi 1 quanto riguarda le successioni di Cauchy in $RR$, mi ricordo che la dimostrazione è molto etnica ma bisogna solo usare le definizioni di successione di Cauchy ed incastrarle fra loro ed il gioco è fatto. Credo si faccia lo stesso anche in casi di spazi metrici.