Insieme mai denso e successioni

[stefanod98]

Ciao a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sulla definizione di insieme mai denso.
Un sottoinsieme $E \subset X$ è denso se la sua chiusura coincide con l'insieme: $\overline{E} = X$.
Una definizione equivalente è che ogni elemento dello spazio $X$ sia limite di una successione di elementi di $E$, ovvero $\forall x \in X$ $\exists \{x_n\} \subset E$ t.c. $x_n \to x$.
Un sottoinsieme $E \subset X$ è mai denso se l'interno della sua chiusura è vuoto: $\overset{circ}{\overline{E}} = \emptyset$. Qual'è una definizione equivalente che sfrutti le successioni in $E$?
Ho provato a considerare il complementare $\overset{circ}{\overline{E}}$, che è denso, ma non mi porta per ora molto lontano.
Non so se mi sto perdendo in qualcosa di scontato... grazie a chiunque voglia rispondere!

[otta96]

Una formulazione equivalente che sfrutti le successioni potrebbe essere un po' complicata, vediamo: è mai denso se e solo se $AAx\inRR, EE{x_(n,m)\inE|n,m\inNN}$ tale che $AAn\inNN$ esiste finito $\lim_(m->+\infty)x_(n,m)=y_n$, esiste finito anche $\lim_(n->+\infty)y_n=x$ e l'insieme ${n\inNN|y_n\notin\bar{E}}$ è infinito. Dovrebbe funzionare.

[gugo82]

Questo può essere un esercizio per vedere se si è capito il concetto, ma la nozione di nowhere dense set che si utilizza di solito (per lo più in fatti di Analisi Funzionale) non sfrutta le successioni proprio perché è difficilmente caratterizzabile con esse.

[otta96]

Comunque era sottinteso che ti lascio come esercizio di verificare

[stefanod98]

Ho capito, credevo appunto si potesse dare una definizione "facile" come per gli insiemi densi. Proverò a verificare a verificare on my own, grazie mille a entrambi!