Direzione minima della derivata direzionale in un punto
Salve ragazzi sono nuovo in questo forum e questo è il mio primo argomento. Cercherò di essere più chiaro possibile e di usare una corretta formattazione.
Vi riporto il testo del seguente problema:
Sia \(f(x,y)=(x^2+1)^y\):
a) Calcolare la derivata direzionale di \(f\) nel punto \((-1,0)\) nella direzione parallela ed equiversa a \(v=(1,\sqrt{3})\)
b) Determinare la direzione \(w\) per cui la derivata direzionale \((-1,0)\) è minima e calcolarne il valore
Nello svolgimento del punto a non ho avuto problemi al contrario del punto b. Vi chiedo se mi potreste dare una mano. In ogni caso grazie mille. Successivamente vi descrivo qual'è stata la mia idea.
La mia idea nella soluzione del punto b era quella di calcolare la derivata direzione sempre nel solito punto ma utilizzando un qualsiasi versore del tipo: \[ \hat{u}=(a,b)\]
Successivamente avrei fatto il rapporto incrementale e a quel punto sarebbe stato un problema di massimo e minimo rispetto a h, cercando dunque il valore minimo:
\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(xo+ah,yo+bh)-f(xo,yo)}{h}\]
Vi riporto il testo del seguente problema:
Sia \(f(x,y)=(x^2+1)^y\):
a) Calcolare la derivata direzionale di \(f\) nel punto \((-1,0)\) nella direzione parallela ed equiversa a \(v=(1,\sqrt{3})\)
b) Determinare la direzione \(w\) per cui la derivata direzionale \((-1,0)\) è minima e calcolarne il valore
Nello svolgimento del punto a non ho avuto problemi al contrario del punto b. Vi chiedo se mi potreste dare una mano. In ogni caso grazie mille. Successivamente vi descrivo qual'è stata la mia idea.
La mia idea nella soluzione del punto b era quella di calcolare la derivata direzione sempre nel solito punto ma utilizzando un qualsiasi versore del tipo: \[ \hat{u}=(a,b)\]
Successivamente avrei fatto il rapporto incrementale e a quel punto sarebbe stato un problema di massimo e minimo rispetto a h, cercando dunque il valore minimo:
\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(xo+ah,yo+bh)-f(xo,yo)}{h}\]
Risposte
Puoi porre
$vec w = (cos(alpha), sin(alpha))$ generico versore con direzione formante un angolo $alpha$ con l'asse x e con $0 le alpha lt 2*pi$
e usare la formula
$(partial f(x_0,y_0))/(partial(vec w))=nablaf(x_0,y_0)*vec w$
Quindi
$(partial f(-1,0))/(partial(vec w))=(0,ln(2))*(cos(alpha), sin(alpha))=ln(2)*sin(alpha)$
che è minimo per $alpha = 3/2pi$ e quindi
$vec w = (0, -1)$ e $f_w(-1,0)=-ln(2)$
$vec w = (cos(alpha), sin(alpha))$ generico versore con direzione formante un angolo $alpha$ con l'asse x e con $0 le alpha lt 2*pi$
e usare la formula
$(partial f(x_0,y_0))/(partial(vec w))=nablaf(x_0,y_0)*vec w$
Quindi
$(partial f(-1,0))/(partial(vec w))=(0,ln(2))*(cos(alpha), sin(alpha))=ln(2)*sin(alpha)$
che è minimo per $alpha = 3/2pi$ e quindi
$vec w = (0, -1)$ e $f_w(-1,0)=-ln(2)$
Okay correggimi se sbaglio il significato "teorico" del tuo procedimento: prendi un versore generico espresso in coordinate polari e sfrutti il fatto che esiste la derivata direzionale nel punto \((xo,yo)\) per poi sfruttare l'uguaglianza \(f_v(xo,yo)=\nabla f(xo,yo) \cdot \vec{w}\). Quest'ultima uguaglianza definisce tutte le derivate direzionali della funzione in quel punto nella direzione di \(\vec{w}\). Essendo un prodotto scalare posso minimizzare il "risultato" ottenendo l'angolo \(\alpha\). Grazie mille
Esatto 
Volevo solo sottolineare che il teorema del gradiente $f_v(x_0,y_0)=\langle \nabla f(x_0,y_0),v \rangle$ vale se $f$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$. Andrebbe prima verificata la differenziabilità di $f$ in $(-1,0)$, cosa di cui non è stata fatta menzione in questo post; in questo caso, si verifica velocemente che $f$ è differenziabile in $(-1,0)$ e dunque l'approccio funziona, ma senza differenziabilità quella formula è falsa. Quindi, in generale, attenzione.
Inoltre, ne approfitto per dare il benvenut* a robin26 sul forum. In generale, chiediamo nel regolamento (che puoi leggere qui) di non caricare foto perché, col tempo, esse vengono rimosse e quindi il post diventa illeggibile per coloro che in futuro passeranno di qui. Visto che il forum è un luogo pubblico e uno dei suoi obiettivi è proprio quello di aiutare, oltre all'autore del post, tutti coloro che passeranno di qui, ti chiedo cortesemente robin26 di modificare il messaggio e riscrivere il testo del problema con le formule integrate al forum. Puoi farlo tramite l'apposito pulsante "Modifica", che compare in alto a destra sul tuo messaggio iniziale. Ti ringrazio, e buona permanenza!
Inoltre, ne approfitto per dare il benvenut* a robin26 sul forum. In generale, chiediamo nel regolamento (che puoi leggere qui) di non caricare foto perché, col tempo, esse vengono rimosse e quindi il post diventa illeggibile per coloro che in futuro passeranno di qui. Visto che il forum è un luogo pubblico e uno dei suoi obiettivi è proprio quello di aiutare, oltre all'autore del post, tutti coloro che passeranno di qui, ti chiedo cortesemente robin26 di modificare il messaggio e riscrivere il testo del problema con le formule integrate al forum. Puoi farlo tramite l'apposito pulsante "Modifica", che compare in alto a destra sul tuo messaggio iniziale. Ti ringrazio, e buona permanenza!
Grazie mille. Mi scuso per l'immagine. Nella prossima discussione non succederà
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