Integrale con delta di Dirac
Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere un esercizio con la delta di Dirac.
Il problema chiede di calcolare il valore medio $$ della distanza delle particelle dall’origine data una certa hamiltoniana tridimensionale $H(\vec{q},\vec{p}) = \frac{p^2}{2m}+aq^3$. Dove $p = |\vec{p}|$ e $q =|\vec{q}|$ e $a>0$ è una costante dimensionale.
Io so che la densità di probabilità che una particella si trovi a distanza r dall’origine è data da:
$P(r) = \frac{1}{Z_{1}}\int\frac{d^3q\ d^3p\}{h^3}e^{-\betaH(\vec{q},\vec{p})}\delta (|\vec{q}|-r)$
Una volta calcolata $P(r)$ posso facilmente ricavarmi $$ come $ = \int_{0}^{\infty} dr\ rP(r)$.
Ho provato a ricavarmi $P(r)$ ma sono arrivato fino ad un certo punto e non riesco ad andare avanti.
Innanzitutto ho espresso tutto in coordinate sferiche e ho svolto il conto semplificando i vari termini con $Z_{1} = (\frac{2\pim}{h^2\beta})^\frac{3}{2}\frac{4\pi}{3\betaa}$. Alla fine mi rimane $P(r) = 3\betaa\int_{0}^{r}dq\ e^{-\betaaq^3}\delta(q-r)$.
Secondo la soluzione, questo dovrebbe restituire $P(r) =3\betaar^2 e^{-\betaar^3}$ ma non capisco in che modo. Ho pensato alla proprietà della delta per cui $g(x)\delta(x-x_{0}) =g(x_{0})\delta(x-x_{0}) $ e questa spiegherebbe il termine $e^{-\betaar^3}$, ma non capisco da dove venga $r^2$.
Grazie a chi potrà darmi un aiuto a capire.
Il problema chiede di calcolare il valore medio $
Io so che la densità di probabilità che una particella si trovi a distanza r dall’origine è data da:
$P(r) = \frac{1}{Z_{1}}\int\frac{d^3q\ d^3p\}{h^3}e^{-\betaH(\vec{q},\vec{p})}\delta (|\vec{q}|-r)$
Una volta calcolata $P(r)$ posso facilmente ricavarmi $
Ho provato a ricavarmi $P(r)$ ma sono arrivato fino ad un certo punto e non riesco ad andare avanti.
Innanzitutto ho espresso tutto in coordinate sferiche e ho svolto il conto semplificando i vari termini con $Z_{1} = (\frac{2\pim}{h^2\beta})^\frac{3}{2}\frac{4\pi}{3\betaa}$. Alla fine mi rimane $P(r) = 3\betaa\int_{0}^{r}dq\ e^{-\betaaq^3}\delta(q-r)$.
Secondo la soluzione, questo dovrebbe restituire $P(r) =3\betaar^2 e^{-\betaar^3}$ ma non capisco in che modo. Ho pensato alla proprietà della delta per cui $g(x)\delta(x-x_{0}) =g(x_{0})\delta(x-x_{0}) $ e questa spiegherebbe il termine $e^{-\betaar^3}$, ma non capisco da dove venga $r^2$.
Grazie a chi potrà darmi un aiuto a capire.
Risposte
Ciao GGno396,
Benvenuto sul forum!
Ti sei ricordato dello jacobiano della trasformazione in coordinate sferiche $r^2 sin\phi$ ?
Benvenuto sul forum!
"GGno396":
$a > 0$ è una costante adimensionale.
"GGno396":
Innanzitutto ho espresso tutto in coordinate sferiche [...]
Ti sei ricordato dello jacobiano della trasformazione in coordinate sferiche $r^2 sin\phi$ ?
Ecco cosa avevo dimenticato! Sono stato un'ora a cercare di capire cosa non andasse, anche perché avevo risolto un'integrale simile per ricavare $Z_{1}$ e non avevo avuto problemi.
Grazie mille dell'aiuto.
Grazie mille dell'aiuto.
"GGno396":
Grazie mille dell'aiuto.
Prego.
A questo punto
$ \langle r \rangle = \int_0^{+\infty} 3\beta a r^3 e^{- \beta a r^3} \text{d}r $
Ponendo $t := \beta a r^3 \implies r = (t/(\beta a))^{1/3} \implies \text{d}t = 3 \beta a r^2 \text{d}r \implies (t/(\beta a))^{1/3} \text{d}t = 3 \beta a r^3 \text{d}r $, si ha:
$ \langle r \rangle = 1/(\root[3]{\beta a}) \int_0^{+\infty} t^{4/3 - 1} e^{- t} \text{d}t = (\Gamma(4/3))/\root[3]{\beta a} = (\Gamma(1/3))/(3\root[3]{\beta a}) $
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