Analisi matematica di base
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Buonasera.
Sapreste indicarmi un eserciziario alternativo al Marcellini Sbordone su integrali multipli, integrali di superficie e forme differenziali lineari?
Riporto il seguente studio di funzione, nella speranza che mi venga chiarito un dubbio in merito alla derivata seconda di $ f $.
Data la funzione \(f : \mathcal{D} \to \mathbb{R}\) di legge: \[
f(x) := \begin{cases}
(x-1)e^{\frac{1}{x-1}} & \text{se } x > 1 \\
0 & \text{se } x = 1 \\
-(x-1)e^{\frac{1}{x-1}} & \text{se } x < 1
\end{cases}
\] il proprio dominio naturale risulta essere \[
\mathcal{D} = \mathbb{R}
\]
in quanto definita in tutto $ \mathbb{R} $. Per quanto ...
Salve ragazzi di matematicamente.
Ultimamente sto esercitandomi sugli integrali ma trovo difficoltà con questi due:
$ int(2x^4+4)/(x^3+1) dx$
e
$ int(7)/(3-5*x^(1/3)) dx $
Qualcuno saprebbe svolgerli per illustrarmi i passaggi ?
Ringrazio chiunque possa aiutarmi.
Sto tentando di capire la natura del segno della successione (che chiamo $a_n$) nel titolo.
Si sa che, per ogni $n \geq 1$, valgono le seguenti disuguaglianze:
$1/2 < cos(1/n) < 1$
$0 < 1/n \leq 1$
$1 < e^(1/n) \leq e$
La mia domanda è: ha senso fare un'operazione del genere, ossia la somma tra le prime due disuguaglianze e la differenza con l'ultima, ottenendo quanto segue?
$(1/2 + 0 - 1) < a_n < 1 + 1 - e$
$-1/2 < a_n < 2 - e$ (che dovrei meglio scrivere come $2 - e < a_n < -1/2$, quindi ...
La serie è a termini positivi e la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta.
Come per il post sulla differenza di arcotangenti, eviterei di usare il criterio del rapporto asintotico che prevede l'uso, nuovamente, di De L'Hopital.
Un suggerimento?
Ciao a tutti , questo è il quesito su cui ho un dubbio:
La funzione f è limitata sul suo dominio? Determina la natura dei punti stazionari.
$ f(x,y)=2xy^2+y^3+y^2x^2 $
--Procedimento per trovare i punti stazionari (pongo il gradiente uguale a zero):
$ { ( 2y^2(2x+1)=0 ),( 2x^2y+4xy+3y^2=0 ):} $
Da cui trovo le soluzioni (forse ce ne sono delle altre):
$ { ( AAx ),( y=0 ):} vv { ( x=-1/2 ),( y=1/2 ):} $
--Studio la matrice Hessiana:
$ H_f(x,y) = ( ( 2y^2 , 4y(x+1) ),( 4y(x+1) , 2x^2+4x+6y ) ) $
$ H_f(-1/2,1/2) = ( ( 0, 1 ),( 1, 3/2) ) $ il cui $ detH_f(-1/2,1/2) = -1 $ è negativo, quindi è un punto di sella.
...
La somma di una serie convergente a termini positivi non può che essere positiva.
Tuttavia, riflettevo tra me e me sulla somma di una serie a termini definitivamente positivi.
Cioè, mi chiedevo: la somma di una serie convergente a termini definitivamente positivi può essere negativa?
Pensavo, ad esempio, ad una successione definita come segue
\(\displaystyle a_n = \begin{cases}
-n^n& \text{ se } 1 \leq n \leq 1000 \\
\frac{1}{n^n}&\text{ se } n \geq 1001
\end{cases} \)
la cui serie ...
Essendo l'arcotangente strettamente crescente, è chiaro che il termine generale sia sempre maggiore di zero, dunque è una serie a termini positivi. Inoltre, la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta.
In prima battuta, ho applicato il criterio del rapporto asintotico tra la successione
$a_n = arctan(n+sqrt(n))-arctan(n)$
e la successione
$b_n = 1/n^\alpha$
con parametro $\alpha > 0$ perché non so se confrontare con una serie armonica convergente o divergente.
Dunque, discuto il limite al ...
Ciao,
volevo chiedere un aiuto su un passaggi che spesso fa il prof che non mi è chiarissimo. Vorrei capire perché spesso quando trovo un integrale in seno e coseno passa a rappresentazione complessa in primis.
Seconda domanda: se io passo in rappresentazione complessa devo mantenere una coerenza tra parte reale e immaginaria, voglio dire, se parto da
$intcos(omegat) dt$ posso integrare $e^(-iomegat)$ oppure $e^(iomegat)$ a scelta, però poi svolto l'integrale avrò i casi: ...
In particolare, è richiesto di:
1) Scrivere le prime 8 somme parziali $s_1, ..., s_8$.
2) Studiare la convergenza della serie.
3) Studiare la convergenza assoluta della serie.
Anzitutto, osservo che la sequenza
$cos(1\pi/2) = 0$
$cos(2\pi/2) = -1$
$cos(3\pi/2) = 0$
$cos(4\pi/2) = 1$
si ripete periodicamente e che il coseno vale $0$ per indici dispari mentre $-1$ o $1$ per indici pari.
Punto ...
Ciao!
Studiando meccanica classica ho riscontrato una difficoltà, il dubbio riguarda unicamente l'analisi quindi scrivo qui.
Date le equazioni di Hamilton \(\displaystyle \dot{x}= \frac{p}{m}\) e \(\displaystyle \dot{p}= 2\alpha x\), mi viene chiesto di ricavare le equazioni del moto, con condizioni iniziali \(\displaystyle x_0 \) e \(\displaystyle p_0 \) al tempo \(\displaystyle t=0 \). La soluzione indicata è la seguente:
$x(t) = x_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0/(\sqrt{2\alpha m})\text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $
$p(t) = \sqrt{2\alpham} x_0 \text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $
Qualcuno mi saprebbe spiegare ...
Ciao a tutti. Ho svolto lo studio di questa funzione e avrei bisogno di un controllo.
Dunque...
Data la funzione \(f : \mathcal{D} \to \mathbb{R}\) di legge: \[
f(x) = \frac{e^x}{x}
\] il proprio dominio naturale risulta essere: \[
\mathcal{D} = \mathbb{R}-\{0\}.
\] dato che si tratta del rapporto di funzioni continue in tutto $ \mathbb{R} $, il cui denominatore si può però annullare quando $ x = 0 $ . Pertanto, in \(x=0\) è inutile chiedersi se sia continua o derivabile, in quanto ...
Ciao a tutti, ho questa funzione:
$$g(t,Z)=-e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}+e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$
Mi viene chiesto di calcolare la derivata prima rispetto a $t$, ed io la risolvo così:
$$\frac{\partial g(t,Z)}{\partial t}=-Z_{t,0}e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}- Z_{t,n}e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n -Z_{t,i}e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$
Il primo valore l'ho visto come $(-1)e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}$, quindi il ...
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Studente Anonimo
19 gen 2024, 10:47
Salve a tutti, propongo un quesito sicuramente facile per molti di voi, ma per me sarebbe utile la vostra risposta in modo da poter capire al meglio il metodo di risoluzione. Grazie mille!
$ z^2+2z+1=0 $
Lo z di primo grado è coniugato, ma non sapevo come metterlo nella formula.
Per risolvere ho provato a sostituire z con a+ib, procedendo poi a fare un sistema in cui eguaglio la parte reale e quella immaginaria a 0. Non so se sto procedendo in modo giusto e come continuare.
Ciao a tutti, ho svolto questo sviluppo di Taylor
f(x) = ^5\surd (1-5x^2+x^4) , n=4 . L’ho svolto con la formula di Taylor, ma é un’operazione molto lunga e mi chiedevo se si potesse risolvere riconducendosi agli sviluppi di funzioni elementari o in altri modi.
Grazie in anticipo!
** non so se la funzione é scritta correttamente, sarebbe: radice quinta di (1-5x^2+x^4).
Sarei contento se qualcuno si prendesse la briga di risolvere questo sistema non lineare.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 5&t=235379
Ovviamente con qualche sofware
Come da titolo. Ho giusto bisogno di una conferma.
Dato che risulta in una forma indeterminata e dato che non ho voluto usare la regola di de l'Hôpital,
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{(\cos x)^2-1}{\sin (x^2)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1-(\sin x)^2-1}{\sin (x^2)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-(\sin x)^2}{\sin (x^2)}
\]
Sfruttando gli sviluppi di Taylor di $ \sin x $ (al primo grado dovrebbe essere sufficiente), ottengo:
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{-(x + o(x))^2}{(x^2 + o(x^2))} = \lim_{x \to 0^+} ...
Ciao, avrei alcuni dubbi sulle soluzioni della equazione edo: $(d^2x)/(dt^2)+omega^2x=0$
In due corsi distinti ho trovato questi metodi risolutivi e non riesco a capire perché di fatto portino allo stesso risultato, in sostanza non riesco a entrare in profondità del ragionamento. Mi spiego:
1) si mostra che le soluzioni sono del tipo $e^(iomegat)$ ed $e^-(iomegat)$, quindi dice che la soluzione generale sarà: $x(t)=A_+e^(iomegat)+A_-e^(-iomegat)$ (d), siccome il problema da cui scaturiva era fisico voglio che ...
Salve a tutti, vorrei chiedervi un parere su una questione relativa alla definizione di limite di funzione.
Sia data una funzione $f:X \to \mathbb{R}$ e sia $x_0$ punto di accumulazione per $X$, laddove si ha
$\lim_{x\to x_0} f(x) = l$ valore finito. Posso prendere allora un $\epsilon_1$ in corrispondenza al quale resta individuato un $\delta_1$ per il quale $|f(x)-l<\epsilon_1$ quando $|x-x_0|<\delta_1$.
La mia domanda è: prendendo un $\epsilon_2 < \epsilon_1$ posso affermare ...
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