Analisi matematica di base

Credo che l'enunciato di questo teorema del mio libro sia sbagliato, lo riporto qui per chiedervi conferma: Teorema continuità di una funzione composta: sia $f: RR^2 \toRR$ continua in $(x_0,y_0)$ e sia $g: RR \toRR$ continua in $f(x_0,y_0)$, allora la funzione composta $h = g(f(x,y))$ è una funzione continua in $(x_0,y_0)$. Scusate ma come fa $g$ ad essere continua in $f(x_0,y_0)$ se g va da $RR$ in $RR$? Forse mi sono ...

Sto risolvendo il problema di Cauchy seguente: \[ \begin{cases} y''(t) - 4y'(t) + 8y(t) = e^{-2t} \\ y(0) = -1 \\ y'(0) = 0 \end{cases} \] Scrivo il polinomio caratteristico P \left( \lambda \right) dell'equazione differenziale omogenea: \[ P \left( \lambda \right) = \lambda^2 - 4\lambda + 8 \] trovandone due radici complesse: \[ \lambda_1 = 2 + 2i \qquad \lambda_2 = 2 - 2i \] pertanto le soluzioni dell'omogenea associata sono date da: \[ y(t) = c_1 e^{2t} \cos \left( 2t \right) + c_2 e^{2t} ...

Sia $f(x,y)= x^2+y^2-1$ e $g(w) = sqrt(w) + ln(w)$. Se io volessi calcolare $g(f(x,y))$ otterrei $g(f(x,y))=sqrt(x^2+y^2-1) + ln(x^2+y^2-1)$. Questo risultato è corretto? Datemi conferma, siccome sono alle prime armi con le funzioni in due variabili. Ma se invece volessi calcolare $f(g(w))$, come dovrei fare? La composizione di funzioni in generale non è commutativa e mi aspetto che la cosa valga anche in $RR^2$, però la differenza qui è che voglio applicare una funzione $g(w)$, così ...

Salve, ho bisogno di un parere su un integrale, sicuramente c’è qualcosa che mi sfugge e sono qui per chiedervi cortesemente una mano $ int_(0)^(1) y*(-lny) dy=<br /> -(lny)*(y^2/2)- int_(0) ^ (1) - (1/y)*(y^2/2) dy = -((y^2*lny)/2)+1/2* int_(0)^(1) y dy= -((y^2*lny)/2)+1/4 $ Questa è la mia soluzione, integrando per parti, sul foglio di esercizi la soluzione è semplicemente 1/4 Sicuramente è qualcosa che non ricordo per via del tempo, ringrazio anticipatamente chi vorrà darmi una mano

Mentre scrivevo lo sviluppo in serie di Taylor di $exp(-n)$ mi è sorto un dubbio. Ricordando che $exp(x) = 1 + x + x^2/2 + o(x^2)$ vale $\forall x$ reale, allora ponendo $x := -n$ ottengo $exp(-n) = 1 - n + n^2/2 + o(n^2)$. Il limite all'infinito di $exp(-n)$ è chiaramente $0$, ma se svolgo il limite dello sviluppo, ovvero $\lim_{n->\infty} 1 - n + n^2/2 + o(n^2)$ per la gerarchia degli infiniti il termine al quadrato è dominante e quindi il limite è $+\infty$. In generale, aggiungendo ...

sera, volevo capire un passaggio del libro che non capisco a fondo. devo calcolare il gradiente per r di: $nabla_x(1/(|vecr-vecr'))$ Io ho operato come (faccio solo la componente x): $[nabla_r(1/sqrt((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2))]_x=$ $=(sqrt((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2))^(-1/2)=-1/2(sqrt((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2))^(-3/2)*2(x-x')=(x-x')/(|vecr-vecr'|^3)$ evidentemente y,z si comportnao uguali e ho: $(r-r')/(|vecr-vecx'|^3)$ Detto ciò il suggerimento del libro è il seguente (per svolgere il calcolo) - e io non capisco bene il suggerimento- : $d/(dx)|g(x)|=(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ Cioè sembra quasi suggerire di chiamare $|vecr-vecr'|=|g(x)|$ e fare la derivata del ...

Buonasera. Sapreste indicarmi un eserciziario alternativo al Marcellini Sbordone su integrali multipli, integrali di superficie e forme differenziali lineari?

Riporto il seguente studio di funzione, nella speranza che mi venga chiarito un dubbio in merito alla derivata seconda di $ f $. Data la funzione \(f : \mathcal{D} \to \mathbb{R}\) di legge: \[ f(x) := \begin{cases} (x-1)e^{\frac{1}{x-1}} & \text{se } x > 1 \\ 0 & \text{se } x = 1 \\ -(x-1)e^{\frac{1}{x-1}} & \text{se } x < 1 \end{cases} \] il proprio dominio naturale risulta essere \[ \mathcal{D} = \mathbb{R} \] in quanto definita in tutto $ \mathbb{R} $. Per quanto ...

Salve ragazzi di matematicamente. Ultimamente sto esercitandomi sugli integrali ma trovo difficoltà con questi due: $ int(2x^4+4)/(x^3+1) dx$ e $ int(7)/(3-5*x^(1/3)) dx $ Qualcuno saprebbe svolgerli per illustrarmi i passaggi ? Ringrazio chiunque possa aiutarmi.

Sto tentando di capire la natura del segno della successione (che chiamo $a_n$) nel titolo. Si sa che, per ogni $n \geq 1$, valgono le seguenti disuguaglianze: $1/2 < cos(1/n) < 1$ $0 < 1/n \leq 1$ $1 < e^(1/n) \leq e$ La mia domanda è: ha senso fare un'operazione del genere, ossia la somma tra le prime due disuguaglianze e la differenza con l'ultima, ottenendo quanto segue? $(1/2 + 0 - 1) < a_n < 1 + 1 - e$ $-1/2 < a_n < 2 - e$ (che dovrei meglio scrivere come $2 - e < a_n < -1/2$, quindi ...

La serie è a termini positivi e la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta. Come per il post sulla differenza di arcotangenti, eviterei di usare il criterio del rapporto asintotico che prevede l'uso, nuovamente, di De L'Hopital. Un suggerimento?

Ciao a tutti , questo è il quesito su cui ho un dubbio: La funzione f è limitata sul suo dominio? Determina la natura dei punti stazionari. $ f(x,y)=2xy^2+y^3+y^2x^2 $ --Procedimento per trovare i punti stazionari (pongo il gradiente uguale a zero): $ { ( 2y^2(2x+1)=0 ),( 2x^2y+4xy+3y^2=0 ):} $ Da cui trovo le soluzioni (forse ce ne sono delle altre): $ { ( AAx ),( y=0 ):} vv { ( x=-1/2 ),( y=1/2 ):} $ --Studio la matrice Hessiana: $ H_f(x,y) = ( ( 2y^2 , 4y(x+1) ),( 4y(x+1) , 2x^2+4x+6y ) ) $ $ H_f(-1/2,1/2) = ( ( 0, 1 ),( 1, 3/2) ) $ il cui $ detH_f(-1/2,1/2) = -1 $ è negativo, quindi è un punto di sella. ...

La somma di una serie convergente a termini positivi non può che essere positiva. Tuttavia, riflettevo tra me e me sulla somma di una serie a termini definitivamente positivi. Cioè, mi chiedevo: la somma di una serie convergente a termini definitivamente positivi può essere negativa? Pensavo, ad esempio, ad una successione definita come segue \(\displaystyle a_n = \begin{cases} -n^n& \text{ se } 1 \leq n \leq 1000 \\ \frac{1}{n^n}&\text{ se } n \geq 1001 \end{cases} \) la cui serie ...

Essendo l'arcotangente strettamente crescente, è chiaro che il termine generale sia sempre maggiore di zero, dunque è una serie a termini positivi. Inoltre, la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta. In prima battuta, ho applicato il criterio del rapporto asintotico tra la successione $a_n = arctan(n+sqrt(n))-arctan(n)$ e la successione $b_n = 1/n^\alpha$ con parametro $\alpha > 0$ perché non so se confrontare con una serie armonica convergente o divergente. Dunque, discuto il limite al ...

Ciao, volevo chiedere un aiuto su un passaggi che spesso fa il prof che non mi è chiarissimo. Vorrei capire perché spesso quando trovo un integrale in seno e coseno passa a rappresentazione complessa in primis. Seconda domanda: se io passo in rappresentazione complessa devo mantenere una coerenza tra parte reale e immaginaria, voglio dire, se parto da $intcos(omegat) dt$ posso integrare $e^(-iomegat)$ oppure $e^(iomegat)$ a scelta, però poi svolto l'integrale avrò i casi: ...

In particolare, è richiesto di: 1) Scrivere le prime 8 somme parziali $s_1, ..., s_8$. 2) Studiare la convergenza della serie. 3) Studiare la convergenza assoluta della serie. Anzitutto, osservo che la sequenza $cos(1\pi/2) = 0$ $cos(2\pi/2) = -1$ $cos(3\pi/2) = 0$ $cos(4\pi/2) = 1$ si ripete periodicamente e che il coseno vale $0$ per indici dispari mentre $-1$ o $1$ per indici pari. Punto ...

Ciao! Studiando meccanica classica ho riscontrato una difficoltà, il dubbio riguarda unicamente l'analisi quindi scrivo qui. Date le equazioni di Hamilton \(\displaystyle \dot{x}= \frac{p}{m}\) e \(\displaystyle \dot{p}= 2\alpha x\), mi viene chiesto di ricavare le equazioni del moto, con condizioni iniziali \(\displaystyle x_0 \) e \(\displaystyle p_0 \) al tempo \(\displaystyle t=0 \). La soluzione indicata è la seguente: $x(t) = x_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0/(\sqrt{2\alpha m})\text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $ $p(t) = \sqrt{2\alpham} x_0 \text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $ Qualcuno mi saprebbe spiegare ...

Ciao a tutti. Ho svolto lo studio di questa funzione e avrei bisogno di un controllo. Dunque... Data la funzione \(f : \mathcal{D} \to \mathbb{R}\) di legge: \[ f(x) = \frac{e^x}{x} \] il proprio dominio naturale risulta essere: \[ \mathcal{D} = \mathbb{R}-\{0\}. \] dato che si tratta del rapporto di funzioni continue in tutto $ \mathbb{R} $, il cui denominatore si può però annullare quando $ x = 0 $ . Pertanto, in \(x=0\) è inutile chiedersi se sia continua o derivabile, in quanto ...

Ciao a tutti, ho questa funzione: $$g(t,Z)=-e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}+e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$ Mi viene chiesto di calcolare la derivata prima rispetto a $t$, ed io la risolvo così: $$\frac{\partial g(t,Z)}{\partial t}=-Z_{t,0}e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}- Z_{t,n}e^{-Z_{t,n}(T_n-t)}+\frac{K}{4}\sum_i^n -Z_{t,i}e^{-Z_{t,i}(T_i-t)}$$ Il primo valore l'ho visto come $(-1)e^{-Z_{t,0}(T_0-t)}$, quindi il ...

Salve a tutti, propongo un quesito sicuramente facile per molti di voi, ma per me sarebbe utile la vostra risposta in modo da poter capire al meglio il metodo di risoluzione. Grazie mille! $ z^2+2z+1=0 $ Lo z di primo grado è coniugato, ma non sapevo come metterlo nella formula. Per risolvere ho provato a sostituire z con a+ib, procedendo poi a fare un sistema in cui eguaglio la parte reale e quella immaginaria a 0. Non so se sto procedendo in modo giusto e come continuare.