Esercizio integrali

[simpronic]

Salve ragazzi di matematicamente.
Ultimamente sto esercitandomi sugli integrali ma trovo difficoltà con questi due:

$ int(2x^4+4)/(x^3+1) dx$

e

$ int(7)/(3-5*x^(1/3)) dx $

Qualcuno saprebbe svolgerli per illustrarmi i passaggi ?

Ringrazio chiunque possa aiutarmi.

[gugo82]

Sembrano integrali standard: il primo si risolve colla divisione ed i fratti semplici, il secondo facendo prima una sostituzione razionalizzante e poi sfruttando i fratti semplici.
Cosa hai provato?
Quali difficoltà incontri?

[simpronic]

Ciao gugo82
Allora per il secondo integrale non riesco a trovare una sostituzione che funzioni, perchè se pongo:

$ y = x^(1/3) $ ho
$ dy = 1/(3x^(2/3))dx $
da cui

$ dx = 3(x^(2/3))dy $

e avrò

$ int(3x^(2/3))/(3-5y)dy $

avevo pensato che x^(2/3) = y^2 ma qua mi blocco

[Mephlip]

Invece quella sostituzione funziona. Hai correttamente notato che \(x^{2/3}=y^2\) e ora puoi concludere in vari modi. O applichi la tecnica dei fratti semplici come ti ha già suggerito gugo82, oppure provi a fare delle manipolazioni algebriche a numeratore che ti permettono di scrivere la funzione integranda in modo da eliminare il denominatore. Ad esempio, puoi notare che:
\[ 3y^2 = -\frac{3}{25} (-25y^2) = -\frac{3}{25} (9-9+-25y^2) = -\frac{3}{25}(9-25y^2)-\frac{3}{25}(-9) \]
\[= \frac{3}{25} (3+5y)(3-5y)+\frac{27}{25}\]
Ora, se spezzi l'integrale nella somma di due integrali, fatte le dovute cancellazioni e portate fuori dall'integrale le opportune costanti saranno entrambi più o meno immediati (uno è di un polinomio, l'altro si riconduce a uno avente come primitiva un logaritmo). Prova a concludere da solo: se hai dubbi, posta qui i tuoi calcoli e li rivediamo insieme.

Un modo più furbo è porre \(y=3-5x^{1/3}\).

[simpronic]

Per il primo integrale ho la seguente cosa mettendo in evidenza 2 al numeratore


$ 2int(x^4+2)/(x^3+1)dx $

dalla divisione polinomiale ho:

$ 2[intxdx+int(2-x)/(x^3+1)dx] $

Ora va risolto il secondo membro e ho pensato di risolverlo tramite i fratti poichè ho questa scomposizione:

$ x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) $

Ottenendo come fratti A = 1/3, B=1/3 e c=2/3 da cui ricavo per il secondo membro:

$ 1/3int(1/(x+1))dx + int(x/3+2/3)/(x^2-x+1) dx $

quindi ricapitolando mi ritrovo in questa situazione dove non riesco a risolvere l'ultimo membro

$ x^2 - 2ln|x^3+1| + 2/3ln|x+1| + 2int(x/3+2/3)/(x^2-x+1)dx + C $

[simpronic]

"Mephlip":Invece quella sostituzione funziona. Hai correttamente notato che \(x^{2/3}=y^2\) e ora puoi concludere in vari modi. O applichi la tecnica dei fratti semplici come ti ha già suggerito gugo82, oppure provi a fare delle manipolazioni algebriche a numeratore che ti permettono di scrivere la funzione integranda in modo da eliminare il denominatore. Ad esempio, puoi notare che:
\[ 3y^2 = -\frac{3}{25} (-25y^2) = -\frac{3}{25} (9-9+-25y^2) = -\frac{3}{25}(9-25y^2)-\frac{3}{25}(-9) \]
\[= \frac{3}{25} (3+5y)(3-5y)+\frac{27}{25}\]
Ora, se spezzi l'integrale nella somma di due integrali, fatte le dovute cancellazioni e portate fuori dall'integrale le opportune costanti saranno entrambi più o meno immediati (uno è di un polinomio, l'altro si riconduce a uno avente come primitiva un logaritmo). Prova a concludere da solo: se hai dubbi, posta qui i tuoi calcoli e li rivediamo insieme.

Un modo più furbo è porre \(y=3-5x^{1/3}\).

Grazie Mephlip e gugo82, effettivamente usando le tecniche per gli integrali razionali dovrei aver risolto almeno il secondo, grazie mille

[pilloeffe]

Ciao Simpronic,

"Simpronic":ricapitolando mi ritrovo in questa situazione dove non riesco a risolvere l'ultimo membro

A me risulta la scomposizione in fratti semplici seguente:

$ \int(2x^4+4)/(x^3+1) \text{d}x = \int 2 x \text{d}x + \int 2/(x + 1) \text{d}x - \int (2 (x-1))/(x^2 - x + 1) \text{d}x = $

$ = x^2 + 2ln|x + 1| - \int (2 (x-1) + 1 - 1)/(x^2 - x + 1) \text{d}x = $

$ = x^2 + 2ln|x + 1| - \int (2x-1)/(x^2 - x + 1) \text{d}x + \int 1/(x^2 - x + 1) \text{d}x = $

$ = x^2 + 2ln|x + 1| - ln(x^2 - x + 1) + \int 1/((x - 1/2)^2 + (sqrt3/2)^2) \text{d}x = $

$ = x^2 + 2ln|x + 1| - ln(x^2 - x + 1) + 4/3\int 1/(((x - 1/2)/(\sqrt3/2))^2 + 1) \text{d}x = $

$ = x^2 + 2ln|x + 1| - ln(x^2 - x + 1) + 4/3\int 1/(((2x - 1)/(\sqrt3))^2 + 1) \text{d}x $

A questo punto, ponendo nell'ultimo integrale $t := (2x - 1)/(\sqrt3) \implies \text{d}t = 2/\sqrt3 \text{d}x \implies \text{d}x = \sqrt3/2 \text{d}t $ si ottiene:

$ \int(2x^4+4)/(x^3+1) \text{d}x = x^2 + 2ln|x + 1| - ln(x^2 - x + 1) + 4/3 \cdot \sqrt3/2 \int 1/(t^2 + 1) \text{d}t = $

$ = x^2 + 2ln|x + 1| - ln(x^2 - x + 1) + 2/\sqrt3 arctan t + c = $

$ = x^2 + 2ln|x + 1| - ln(x^2 - x + 1) + 2/\sqrt3 arctan((2x - 1)/(\sqrt3)) + c $