Studio del segno della successione $cos(1/n) + 1/n - e^(1/n)$

[CosenTheta]

Sto tentando di capire la natura del segno della successione (che chiamo $a_n$) nel titolo.

Si sa che, per ogni $n \geq 1$, valgono le seguenti disuguaglianze:

$1/2 < cos(1/n) < 1$
$0 < 1/n \leq 1$
$1 < e^(1/n) \leq e$

La mia domanda è: ha senso fare un'operazione del genere, ossia la somma tra le prime due disuguaglianze e la differenza con l'ultima, ottenendo quanto segue?

$(1/2 + 0 - 1) < a_n < 1 + 1 - e$
$-1/2 < a_n < 2 - e$ (che dovrei meglio scrivere come $2 - e < a_n < -1/2$, quindi dimostrando che la successione è a termini negativi).

[gugo82]

Non ho capito il dubbio, ma ti propongo un'alternativa un po' più immediata.

Per stabilire il segno di $a_n$, osserva che $a_n=f(1/n)$ con $f(x) = cos x + x - e^x$ definita e di classe $C^oo$ in tutto $RR$, e ti basta stabilire il segno di $f$ ristretta ai soli valori $0 Derivando due volte trovi:
\[
\begin{split}
f^\prime (x) &= -\sin x + 1 - e^x \qquad \text{e}\qquad f^\prime (0) = 0\\
f^{\prime \prime}(x) &= -\cos x - e^x
\end{split}
\]
con \(f^{\prime \prime} (x) < 0\) ovunque in $]0,1[$. Ma allora $f$ è strettamente concava in $[0,1]$ ed il grafico di $f$ è tutto al disotto della retta ad esso tangente nel punto d'ascissa $0$; quindi:
\[
f(x) \leq f^\prime (0)\cdot x + f(0) = 0
\]
con uguaglianza tra primo e secondo membro solo se $x=0$; da ciò deduci che $f(x) < 0$ per $0

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[Mephlip]

@CosenTheta: Non va bene, puoi sommare disuguaglianze tutte nello stesso verso; avresti dovuto prima osservare che dalla terza disuguaglianza segue \(-e \le -e^{1/n} < -1\) e poi sommare membro a membro le tre disuguaglianze. Tuttavia, ciò non ti permette di concludere nulla sul segno di \(a_n\).

Piuttosto, usa (e magari prova a dimostrare) la disuguaglianza \(e^x \ge 1+x\) valida per ogni \(x \in \mathbb{R}\).

[CosenTheta]

"gugo82":
Ti propongo un'alternativa un po' più immediata.

Alternativa interessante. Grazie.

"Mephlip":Puoi sommare disuguaglianze tutte nello stesso verso; avresti dovuto prima osservare che dalla terza disuguaglianza segue \( -e \le -e^{1/n} < -1 \) e poi sommare membro a membro le tre disuguaglianze.

Dunque si avrebbe che $1/2 - e < a_n < 1$.

Corretto?

"Mephlip":Prova a dimostrare la disuguaglianza \( e^x \ge 1+x \) valida per ogni \( x \in \mathbb{R} \).

Pensavo a una cosa di questo genere, con $n$ naturale, valida però solo per $x \geq 0$

$e^x > (1 + x/n)^n > 1 + x$ (per la dis. di Bernoulli)

Per $x \leq -1$ la disuguaglianza è ovvia, perché la funzione $1 + x$ è negativa.
Come posso procedere per $-1 < x < 0$?

"Mephlip":
Piuttosto, usa la disuguaglianza \( e^x \ge 1+x \) valida per ogni \( x \in \mathbb{R} \).

Quindi dovrei dire che

$(cos(1/n) + 1/n) - e^(1/n) \leq cos(1/n) + 1/n - 1 - 1/n = cos(1/n) - 1 \leq 0$ per ogni $n$.

Corretto?

[Mephlip]

"CosenTheta":
Dunque si avrebbe che $1/2 - e < a_n < 1$.

Corretto?

Corretto, quindi da queste disuguaglianze non si può concludere nulla sul segno di $a_n$ purtroppo.

"CosenTheta":
Pensavo a una cosa di questo genere, con $n$ naturale, valida però solo per $x \geq 0$

$e^x > (1 + x/n)^n > 1 + x$ (per la dis. di Bernoulli)

Per $x \leq -1$ la disuguaglianza è ovvia, perché la funzione $1 + x$ è negativa.
Come posso procedere per $-1 < x < 0$?

Va bene. Per avere un paio di tecniche che eliminano il problema sul segno di $x$, ti consiglio di:

(i) provare un approccio simile a quello proposto da gugo82, studiando la funzione $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definita ponendo $g(x):=e^x-1-x$;

(ii) queste disuguaglianze elementari si deducono quasi tutte (o almeno, una loro restrizione a insiemi di numeri non negativi) dagli sviluppi di Taylor. Dato che $e^0=1=1+0$, se $x=0$ la disuguaglianza non stretta è vera. Se $x>0$ è arbitrario, per il teorema di Taylor con resto di Lagrange centrato in $0$ di ordine $2$ esiste $\xi_x \in (0,x)$ tale che:
$$e^x=e^0+\left[\frac{\text{d}(e^t)}{\text{d}t}\right]_{x=0} x+\frac{1}{2}\left[\frac{\text{d}^2(e^t)}{\text{d}t^2}\right]_{x=\xi_x}x^2=1+x+\frac{1}{2}e^{\xi_x}x^2 > 1+x$$
Se $x<0$ procedi in modo analogo, ma stavolta hai $\xi_x \in (x,0)$ (non cambia nulla nella dimostrazione visto che, nel passaggio chiave in cui si maggiora, compaiono $x^2$ ed $e^{\xi_x}$ che sono entrambi positivi per $x<0$; ma va notato perché per dimostrare altre disuguaglianze il segno di $\xi_x$ può essere rilevante).

"CosenTheta":
Quindi dovrei dire che

$(cos(1/n) + 1/n) - e^(1/n) \leq cos(1/n) + 1/n - 1 - 1/n = cos(1/n) - 1 \leq 0$ per ogni $n$.

Corretto?

Corretto. Hai poi la disuguaglianza stretta perché $e^x=1+x$ se e solo se $x=0$ (ed è \(1/n \ne 0\) per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$).

[CosenTheta]

Grazie.