Soluzione equazioni differenziali
Ciao!
Studiando meccanica classica ho riscontrato una difficoltà, il dubbio riguarda unicamente l'analisi quindi scrivo qui.
Date le equazioni di Hamilton \(\displaystyle \dot{x}= \frac{p}{m}\) e \(\displaystyle \dot{p}= 2\alpha x\), mi viene chiesto di ricavare le equazioni del moto, con condizioni iniziali \(\displaystyle x_0 \) e \(\displaystyle p_0 \) al tempo \(\displaystyle t=0 \). La soluzione indicata è la seguente:
$x(t) = x_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0/(\sqrt{2\alpha m})\text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $
$p(t) = \sqrt{2\alpham} x_0 \text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $
Qualcuno mi saprebbe spiegare come arrivare a questo risultato?
Grazie in anticipo!
Studiando meccanica classica ho riscontrato una difficoltà, il dubbio riguarda unicamente l'analisi quindi scrivo qui.
Date le equazioni di Hamilton \(\displaystyle \dot{x}= \frac{p}{m}\) e \(\displaystyle \dot{p}= 2\alpha x\), mi viene chiesto di ricavare le equazioni del moto, con condizioni iniziali \(\displaystyle x_0 \) e \(\displaystyle p_0 \) al tempo \(\displaystyle t=0 \). La soluzione indicata è la seguente:
$x(t) = x_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0/(\sqrt{2\alpha m})\text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $
$p(t) = \sqrt{2\alpham} x_0 \text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $
Qualcuno mi saprebbe spiegare come arrivare a questo risultato?
Grazie in anticipo!
Risposte
Visto che la faccenda viene dalla fisica è del tutto lecito argomentare muovendo fortissimo le mani.
Devi risolvere \(\ddot x = kx\), dove \(k=2\alpha/ m\). Questo rende \(e^{\pm \sqrt k}\) due soluzioni, e quindi la soluzione generale ne è combinazione lineare, ed ecco qui le tue funzioni iperboliche.
Devi risolvere \(\ddot x = kx\), dove \(k=2\alpha/ m\). Questo rende \(e^{\pm \sqrt k}\) due soluzioni, e quindi la soluzione generale ne è combinazione lineare, ed ecco qui le tue funzioni iperboliche.
Perdonami, non capisco... perché devo risolvere questa equazione? E come ricavo il valore di k?
Ciao namfjushi,
Potresti cortesemente eliminare quella brutta foto e scrivere le formule come prescritto qui?
Capisco che tu sia ai tuoi primi messaggi, quindi per questa volta ti dò una mano io:
$x(t) = x_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0/(\sqrt{2\alpha m})\text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $
$p(t) = \sqrt{(2\alpha)/m} x_0 \text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $
Potresti cortesemente eliminare quella brutta foto e scrivere le formule come prescritto qui?
Capisco che tu sia ai tuoi primi messaggi, quindi per questa volta ti dò una mano io:
$x(t) = x_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0/(\sqrt{2\alpha m})\text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $
$p(t) = \sqrt{(2\alpha)/m} x_0 \text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $
$x(t) = x_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0/(\sqrt{2\alpha m})\text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $
$p(t) = \sqrt{(2\alpha)/m} x_0 \text{sinh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) + p_0 \text{cosh}(\sqrt{(2\alpha)/m}t) $
Ho sistemato, grazie dell'aiuto 
"namfjushi":
Ho sistemato, grazie dell'aiuto
Perfetto, grazie a te!
"namfjushi":
perché devo risolvere questa equazione? E come ricavo il valore di k?
Beh, se $\dot{x} = \frac{p}{m} \implies \ddot{x}= \frac{\dot p}{m} $ e siccome $\dot{p}= 2\alpha x $ si ottiene $\ddot{x}= \frac{2\alpha x}{m} $, sicché posto $k := \frac{2\alpha}{m}$ si ottiene proprio l'equazione che ti ha scritto megas_archon.
Perfetto, ho capito! Ma come mai le soluzioni hanno \(\displaystyle i \) all'esponente?
"namfjushi":
Ma come mai le soluzioni hanno $i$ all'esponente?
Quella $i$ non mi risulta.
La soluzione dell'equazione differenziale del secondo ordine $ \ddot x = kx \implies \ddot x - kx = 0 $ è la seguente:
$x(t) = c_1 e^{\sqrtk t} + c_2 e^{- \sqrtk t} $
Poi per ricondurla alla forma che ti è stata proposta occorre tener presente che si ha:
$\text{cosh}(\sqrtk t) = (e^{\sqrtk t} + e^{- \sqrtk t})/2 $
$\text{sinh}(\sqrtk t) = (e^{\sqrtk t} - e^{- \sqrtk t})/2 $
Tutto vero, mi è scappata la i.
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