Studio di funzione
Salve a tutti devo studiare la seguente funzione $ arctan (1/sqrt(2-|x|)) $ ;
in particolare mi interessa:
1) il dominio con eventuali punti singolari;
2)eventuali asintoti
3) studiarne derivata, derivabilità ed eventuali punti di estremo relativo.
io sono arrivato alle seguenti conclusioni
1) la funzione è definita nell'intervallo $]-2;2[$ che a loro volta sono punti di singolarità.
2) non ci sono asintoti.
3) la derivata mi risulta $ x/((6|x|-2x^2)sqrt(2-|x|)) $ la funzione non è derivabile nello 0, però adesso non riesco a calcolare eventuali punti di minimo o di massimo.
Help me Please
in particolare mi interessa:
1) il dominio con eventuali punti singolari;
2)eventuali asintoti
3) studiarne derivata, derivabilità ed eventuali punti di estremo relativo.
io sono arrivato alle seguenti conclusioni
1) la funzione è definita nell'intervallo $]-2;2[$ che a loro volta sono punti di singolarità.
2) non ci sono asintoti.
3) la derivata mi risulta $ x/((6|x|-2x^2)sqrt(2-|x|)) $ la funzione non è derivabile nello 0, però adesso non riesco a calcolare eventuali punti di minimo o di massimo.
Help me Please
Risposte
Non si capisce cosa tu voglia sapere.
Hai già svolto parte dell’esercizio o quelle che riporti sono le soluzioni?
Nel primo caso, ti bastano conferme dei tuoi risultati? O vuoi sicurezza sul metodo?
Hai già svolto parte dell’esercizio o quelle che riporti sono le soluzioni?
Nel primo caso, ti bastano conferme dei tuoi risultati? O vuoi sicurezza sul metodo?
Io ho già svolto l'esercizio a parte il fatto che non riesco a trovare degli eventuali punti di minimo o massimo relativo, inoltre vorrei qualche sicurezza sulla correttezza dei risultati
1. Giusto.
Che tipi di singolarità hai in $+- 2$?
2. Giusto.
Perché?
3. La derivata non mi pare giusta, per un esponente sotto radice (che comunque non ti cambia la vita).
Posta qualche conto.
Non vedo perché tu non riesca a determinare massimi e minimi… Qual è il problema?
Che tipi di singolarità hai in $+- 2$?
2. Giusto.
Perché?
3. La derivata non mi pare giusta, per un esponente sotto radice (che comunque non ti cambia la vita).
Posta qualche conto.
Non vedo perché tu non riesca a determinare massimi e minimi… Qual è il problema?
1) singolarità eliminabile, perchè esiste il limite ma non la funzione.
2) perchè la funzione arctan non ammette asintoti verticali in quanto la sua immagine è $ [Pi /2; -Pi/2] $ e non ci possono essere asintoti verticali o obliqui perchè il dominio non va a $ +-oo $ .
3) ti posto tutti i passaggi che ho fatto io per la derivata:
$ 1/(1+1/(2-|x|)) * (-1/(2*sqrt(2-|x|)))* (-x/|x|) =$
nel primo pezzo faccio il minimo comune multiplo e poi semplifico col denominatore del secondo e viene
$ 1/(3-|x|) * (-1/sqrt(2-|x|))* (-x/|x|)= $
e poi facendo ulteriori semplificazioni arrivo alla conclusione che
$f'(x)= x/((6|x|-2x^2)sqrt(2-|x|) $
ora i punti di estremo ho difficoltà a trovarli, perchè solitamente li trovo tramite la monotonia della derivata, in questo caso appunto ho difficolta a stabilire dove la derivata assume valori positivi o negativi..
2) perchè la funzione arctan non ammette asintoti verticali in quanto la sua immagine è $ [Pi /2; -Pi/2] $ e non ci possono essere asintoti verticali o obliqui perchè il dominio non va a $ +-oo $ .
3) ti posto tutti i passaggi che ho fatto io per la derivata:
$ 1/(1+1/(2-|x|)) * (-1/(2*sqrt(2-|x|)))* (-x/|x|) =$
nel primo pezzo faccio il minimo comune multiplo e poi semplifico col denominatore del secondo e viene
$ 1/(3-|x|) * (-1/sqrt(2-|x|))* (-x/|x|)= $
e poi facendo ulteriori semplificazioni arrivo alla conclusione che
$f'(x)= x/((6|x|-2x^2)sqrt(2-|x|) $
ora i punti di estremo ho difficoltà a trovarli, perchè solitamente li trovo tramite la monotonia della derivata, in questo caso appunto ho difficolta a stabilire dove la derivata assume valori positivi o negativi..
Ciao michael046,
Benvenuto sul forum!
Col presente volevo farti osservare che si verifica facilmente che $f(x) = arctan(1/sqrt(2-|x|)) $ è una funzione pari, quindi nello studio ci si può limitare all'intervallo $[0, 2) $ ed in tale intervallo si ha $|x| = x $, ciò che rende il calcolo della derivata prima più semplice:
$f'(x) = \frac{1}{(6 - 2x)\sqrt{2 - x}} $
Tale derivata è sempre positiva per $x \in (0, 2) $ e pertanto la funzione proposta è crescente in tale intervallo. Si trova subito $f(0) = arctan(1/sqrt(2)) $, poi non è difficile rendersi conto che si ha $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \pi/2 $
Benvenuto sul forum!
Col presente volevo farti osservare che si verifica facilmente che $f(x) = arctan(1/sqrt(2-|x|)) $ è una funzione pari, quindi nello studio ci si può limitare all'intervallo $[0, 2) $ ed in tale intervallo si ha $|x| = x $, ciò che rende il calcolo della derivata prima più semplice:
$f'(x) = \frac{1}{(6 - 2x)\sqrt{2 - x}} $
Tale derivata è sempre positiva per $x \in (0, 2) $ e pertanto la funzione proposta è crescente in tale intervallo. Si trova subito $f(0) = arctan(1/sqrt(2)) $, poi non è difficile rendersi conto che si ha $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \pi/2 $
Ti ringrazio per la spiegazione, devo dire che è davvero molto esaustiva, mi rimangono solo 2 dubbi, il primo è riguardo alla mia derivata, essendo diversa dalla tua suppongo abbia sbagliato in qualcosa giusto?
Il secondo è, come faccio a provare che la funzione è pari? So che una funzione è definita pari se $f(-x)=f(x), ciò vuol dire che mi basta fare il limite per x che tende a 2 e a -2 e vedere che viene lo stesso giusto?
E un'altra cosa secondo te nel caso di un esame scritto, un professore accetta che dico che si tratta di una funzione pari e quindi la analizzo solo in mezzo dominio?
Il secondo è, come faccio a provare che la funzione è pari? So che una funzione è definita pari se $f(-x)=f(x), ciò vuol dire che mi basta fare il limite per x che tende a 2 e a -2 e vedere che viene lo stesso giusto?
E un'altra cosa secondo te nel caso di un esame scritto, un professore accetta che dico che si tratta di una funzione pari e quindi la analizzo solo in mezzo dominio?
"michael046":
Ti ringrazio per la spiegazione, devo dire che è davvero molto esaustiva
Prego!
"michael046":
mi rimangono solo 2 dubbi, il primo è riguardo alla mia derivata, essendo diversa dalla tua suppongo abbia sbagliato in qualcosa giusto?
Non necessariamente: attenzione che la mia vale solo per $x \in (0, 2) $, ove in $f(x) $ si può sostituire $|x| $ con $ x $ che è più comodo...
"michael046":
Il secondo è, come faccio a provare che la funzione è pari?
Semplice:
$f(-x) = arctan(1/sqrt(2-|-x|)) = arctan(1/sqrt(2-|x|)) = f(x) $
"michael046":
ciò vuol dire che mi basta fare il limite per x che tende a 2 e a -2 e vedere che viene lo stesso giusto?
No, ti basta $ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \pi/2 $, poi dato che la funzione è pari l'altro non c'è bisogno di calcolarlo: sai già che $ \lim_{x \to -2^+} f(x) = \pi/2 $
"michael046":
E un'altra cosa secondo te nel caso di un esame scritto, un professore accetta che dico che si tratta di una funzione pari e quindi la analizzo solo in mezzo dominio?
Ritengo che dovrebbe apprezzarlo, perché riuscire a rendere più semplici le cose è indice di intelligenza: però più che dirlo magari è meglio se lo dimostri...
Vabbe si, con dire che è un funzione pari intendevo dimostrarlo come hai fatto tu, comunque ti ringrazio molto per l'aiuto
Scusami se insisto su quest'esercizio ma rileggendo il testo ho pensato che in realtà la derivata devo calcolarla in tutto il dominio, quindi non basta in $[0;2)$, posso chiederti un aiuto per calcolarla nel resto del dominio, quindi in $(-2;0]$?
Beh, ma così facendo perdi il vantaggio di studiare la funzione su metà del dominio...
Comunque, osserva che la derivata che ho scritto io si ottiene da quella che hai scritto tu semplicemente scrivendo $x$ al posto di $|x| $...
Comunque, osserva che la derivata che ho scritto io si ottiene da quella che hai scritto tu semplicemente scrivendo $x$ al posto di $|x| $...
Non posso calcolarla lo stesso sfruttando la definizione di valore assoluto e quindi andando a sostituire a $|x| = -x$ ? In modo da poter calcolare lo stesso la derivata con la differenza di un segno meno davanti a essa
Beh certamente, lo davo per scontato dato che
$ |x| := {(x text{ se } x \ge 0),(- x text{ se } x < 0):}$
Per $x \in (- 2,0) $ la derivata deve risultarti sempre negativa (funzione decrescente).
$ |x| := {(x text{ se } x \ge 0),(- x text{ se } x < 0):}$
Per $x \in (- 2,0) $ la derivata deve risultarti sempre negativa (funzione decrescente).
Okok grazie mille
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