Intervallo della retta reale estesa come unione di intervalli dello stesso tipo con estremo razionale

[elatan1]

Sia $a\in\mathbb{R}$, vorrei scrivere l'intervallo $(a,+\infty]$ come unione numerabile di intervalli dello stresso tipo, ma con estremi razionali, cioè vorrei che valesse una regola del genere $$(a,+\infty]=\bigcup_{n=1}^{+\infty} (q_n,+\infty],$$ dove $\{q_n\}\subset\mathbb{Q}.$

Ora è chiaro che poiché $\mathbb{Q}$ è denso in $\overline{\mathbb{R}}=[-\infty,\infty]$, esiste una successione $\{q_n\}\subseteq\mathbb{Q}$ decrescente tale che $q_n\to a$.

L'inclusione $$\bigcup_{n=1}^{+\infty} (q_n,+\infty]\subseteq (a,+\infty],$$ è semplice.

Non ho idea di come mostrare l'altra sfruttando la densità qualcuno potrebbe darmi qualche suggerimento?

Grazie!

[otta96]

Si dimostra come si dimostrano tutte le inclusioni, prendi un elemento del primo insieme, usa la definizione dell'insieme, sfrutta una proprietà di quella successione e concludi.

[elatan1]

Vediamo:

Sia $x\in (a,+\infty]$, poiché la successione $\{q_n\}$ è decrescente esisterà qualche $n\in\mathbb{N}$ tale che $q_n\le x$, allora $x\in (q_n,+\infty]$

Giusto?

[otta96]

Non basta che la successione sia decrescente, la cosa importante è che il suo limite è minore di $x$.

[elatan1]

Grazie. Dunque ricapitolando: sappiamo che esiste una successione decrescente $\{q_n\}\subseteq\mathbb{Q}$ tale che $q_n\to a.$

Sia $x\in (a,+\infty]$ allora $an_0$ (poiché la successione è decrescente) dove $n_0\in\mathbb{N}$. Pertanto $x\in (q_n,+\infty]$ per ogni $n>n_0$.

E' scritto bene formalmente?

[otta96]

Non hai spiegato bene il ruolo di $n_0$, a parte questo va bene.

[elatan1]

Grazie tante. $n_0$ è un indice naturale, al di la del quale la successione "scavalca" $x$ definitivamente.

[otta96]

Più che altro dovresti spiegare perché esiste.

[elatan1]

Però mi sorge un dubbio: quando diciamo che esiste una successione che tende ad $a$ è corretto?

Perché poi i $q_n\in (a,+\infty]$, ma il loro limite essendo $a\notin (a,+\infty]$

[elatan1]

"otta96":Più che altro dovresti spiegare perché esiste.

Esiste perché la successione comverge. O No?

Ora mi viene il dubbio

[otta96]

"elatan":Però mi sorge un dubbio: quando diciamo che esiste una successione che tende ad $ a $ è corretto?

Perché poi i $ q_n\in (a,+\infty] $, ma il loro limite essendo $ a\notin (a,+\infty] $

Si si è corretto, la cosa che hai scritto dopo non c'entra nulla, è dovuto al fatto che l'insieme $(a, +\infty] $ non è chiuso.
Comunque la successione la puoi trovare ad esempio scrivendo $a$ con l'espansione decimale troncandolo con un numero sempre maggiore di cifre decimali (diciamo $n$) e aggiungendo $10^(-n)$ (per far sia più grande).
Chiaramente questo non è l'unico modo di farlo, nemmeno il più furbo, ma è il più intuitivo e facile da capire secondo me, quindi ti ho detto questo.

[otta96]

"elatan":Esiste perché la successione converge. O No?

Ora mi viene il dubbio

Il procedimento completo sarebbe di dire che ponendo $\epsilon=x-a$ nella definizione di successione convergente hai garantita l'esistenza di un $n_0$ come lo volevi (verificarlo! anche in questo stesso thread).

[elatan1]

Dunque, $\lim_{n\to\infty} q_n=a$ se e solo se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $n_0\in\mathbb{N}$ tale che $q_n-a<\varepsilon$ per ogni $n>n_0$

Dunque, ponendo $\varepsilon:=x-a$, si ha che $q_n-an_0.$

Allora $an_0$, la prima disuguaglianza è dovuta al fatto che la successione converge verso $a$.

Spero di non avero commesso ulteriori imprecisioni!

Grazie tante

[otta96]

"elatan": Allora $an_0$, la prima disuguaglianza è dovuta al fatto che la successione converge verso $a$.

Beh, se vogliamo essere (fin troppo) puntigliosi, il motivo di questa cosa non è quello che hai detto tu, quanto il fatto che la successione l'avevi scelta in modo che avesse questa proprietà.

[elatan1]

Ottimo, dunque per ipotesi! Anzi nessuno vieta che $q_n$ possa essere $a$. Dunque anche un minore uguale andrebbe bene

[otta96]

"elatan":nessuno vieta che $q_n$ possa essere $a$

Beh, qualcuno si, il fatto che la successione la devi prendere di razionali, non è detto che $a$ lo sia.