Geometria terra terra

[Sk_Anonymous]

Data una palla sferica di legno e un foglio carta, disegnare con solo l'uso di un compasso l'equatore della palla sul foglio di carta.

Capisco che il problema possa non essere del tutto chiaro, ma non saprei, in mancanza di esplicite osservazioni, come meglio precisarlo.

[axpgn]

Centrate il compasso in un qualsiasi punto $M$ sulla superficie della pallina e tracciate un cerchio qualunque sulla stessa.
Segnate tre punti a caso sul cerchio tracciato ($A, B, C$) e sul foglio di carta disegnate un triangolo di vertici $ABC$ le cui distanze corrispondono a quelle sulla pallina.


Disegnate un cerchio circoscritto al triangolo e due suoi diametri perpendicolari $PQ$ e $GH$; il cerchio sarà uguale a quello disegnato sulla pallina e perciò $PQ=KL$.
Sia $P$ il corrispondente di $K$ e fissate su $GH$ un punto $S$ tale che $PS=KM$.
Tracciate la perpendicolare a $PS$ e chiamate $R$ il punto in cui incontra il prolungamento di $GH$.
Il segmento $SR$ sarà uguale al diametro della pallina.

Cordialmente, Alex

[Sk_Anonymous]

bada bene che non disponi della riga.

Come si possono fare le costruzioni che hai indicato(*)?




(*) senza scomodare Mascheroni , ma in modo molto più spiccio: terra terra appunto.

[nab2]

Prendere il foglio ed avvolgerlo intorno alla sfera a mo' di cilindro.
Togliere la sfera dal cilindro di carta mantenendo il cilindro intatto.
Schiacciare il cilindro. Adesso il foglio così piegato ha larghezza $\pi r$ dove $r$ è il raggio della sfera.
Inserire la sfera. La distanza delle piegature del foglio è $2r$.
Considerare una base del cilindro e aprire il compasso a $2r$ in modo che le sue punte tocchino proprio le due piegature del foglio.
Ora bisogna ridurre l'apertura a $r$. Aprire tutto il foglio.
Puntare il compasso su un angolo del foglio e tracciare sul foglio l'arco di circonferenza di lunghezza $\pi/2 2r$.
Fare lo stesso lavoro per un altro angolo adiacente.
Piegare il foglio in modo da "nascondere" i due archi ottenendo una piegatura che dista dal bordo comune degli angoli adiacenti esattamente $r$.
Regolare il compasso e disegnare la circonferenza di raggio $r$, l'equatore della sfera.
Questo è il metodo che ho trovato usando meno matematica possibile ma che funziona più sul piano teorico che su quello pratico.

[Aster89]

"nab":Prendere il foglio ed avvolgerlo intorno alla sfera a mo' di cilindro.
Togliere la sfera dal cilindro di carta mantenendo il cilindro intatto.
Schiacciare il cilindro. Adesso il foglio così piegato ha larghezza $ \pi r $ dove $ r $ è il raggio della sfera.
Inserire la sfera. La distanza delle piegature del foglio è $ 2r $.
Considerare una base del cilindro e aprire il compasso a $ 2r $ in modo che le sue punte tocchino proprio le due piegature del foglio.
Ora bisogna ridurre l'apertura a $ r $. Aprire tutto il foglio.

Poi punti sull'angolo del foglio. Immagino sia questo che definisci come poco funzionale sul piano pratico.

Be', hai la lunghezza $2 r$ e vuoi ricavarne la metà, $r$.
Consideriamo una sola delle due pieghe già fatte. Puntiamo in un punto qualsiasi di essa e tracciamo una circonferenza; puntiamo in una delle due intersezioni e tracciamo un altra circonferenza; le due circonferenze avranno due intersezioni; facciamo una piega che le colleghi, la quale bisecherà il "segmento" iniziale (la distanza tra i due centri). Abbiamo la distanza $r$, dunque disegniamo l'equatore.

Insomma, sembra limitante non avere la riga

ma non lo è se si possono fare le pieghe

[Sk_Anonymous]

In effetti, la battuta non fa una piega .

[axpgn]

Ma allora va bene anche la mia ...

[Sk_Anonymous]

Io ho fatto una cosa del genere (sintetizzo l'idea. Disponibile a fornire tutti i dattagli) Scelti due punti sulla sfera traccio due cerchi con centro in uno e passante per l'altro. Traccio due ulterioni circonferenze con centro in una delle due inetrsezioni e passante per l'altra. Il piano per le intersezioni di questi ultimi due cerchi e dei primi due punti passa per il centro.
Riporto uno dei triangoli determinati da questi quattro punto sul foglio di carta. Il cerchio corcoscritto a questo è quello che è stato richiesto. Per trovarlo io ho pensato di procedere così:

piego il foglio esattamente sugli assi di due dei segmenti del triangolo. L'intersezione delle due pieghe è il centro del cerchio cercato.

[orsoulx]

"sprmnt21":Disponibile a fornire tutti i dattagli

Dettaglia, per favore.

[Sk_Anonymous]

Certo mi faciliteresti il compito se facessi riferimento esplicito al punto o ai punti che non sono chiari o addirittura non ti convincono. Comunque provo a sviluppare l'idea. Per aiutarmi faccio riferimento alla figura allegata.



In cui il piano equatoriale passa per i punti E, L, K, F. Mi accorgo adesso che è diversa dalla costruzione proposta ieri sera (ma non ricordavo bene questa e mentre scrivevo mi è venuta così. Ma il discorso non dovrebbe cambiare granché).
Cerchio centro D e raggio DC; cerchio centro C e raggio CD; punti di intersezione E, F. Due cerchi concentrici ai primi due con raggio minore (la costruzione su geogebra sembra diversa perche il programma non consente di tracciare direttamente cerchi su una sfera).
Credo per giustificare che piano per E, L, K, F sia equatoriale basti fare riferimento alla simmetria della figura.
Per il resto con il compasso si riportano sul foglio tre dei 6 segmenti per formare un traingolo.
Con il compasso per due dei lati del rtiangolo determino due punti dell'asse e piego lungo la retta congiungente questi punti.

[Sk_Anonymous]

"axpgn":Ma allora va bene anche la mia ...

La tua è indubbiamente una costruzione molto intrigante.

La mia osservazione era riferita al fatto che nel testo viene richiesto l'uso del solo compasso. Questo comporterebbe, credo, l'uso dei risultati de Mascheroni sulla geometria del compasso. Sul web si trova l'opera in questione, ma non è una lettura che mi sento di fare e quindi ho pensato di ripiegare ( e mo ci vo') su un'interpetazione terra-terra.

[orsoulx]

"sprmnt21":Certo mi faciliteresti il compito se facessi riferimento esplicito al punto o ai punti...

Scusami su questo hai ragione. Il passaggio che mi lascia perplesso è questo:

"sprmnt21":Per il resto con il compasso si riportano sul foglio tre dei 6 segmenti per formare un traingolo.

Ti ricordo che il problema non consente l'uso della riga che hai, terra terra, aggirato con la piegatura, ma allora non consente neppure l'uso del compasso non collassabile....

[Sk_Anonymous]

se ho inteso bene il senso di compasso non collassabile(non ho mai riflettuto su questa eventualità), non saprei come fare. Ma mi viene da pensare che non sia proprio possibile fare in alcun modo.
da dove derivi il fatto che escludere la riga comporti anche quest'altro aspetto?

[orsoulx]

Mah! Parlando di geometria, se qualcuno mi dice che non posso usare la riga, io intendo che che richieda una costruzione 'classica' dove il compasso è semplicemente uno strumento in grado di tracciare una circonferenza dato il centro e un punto di questa. In caso contrario, come spieghi l'esclusione della riga?

[Sk_Anonymous]

"orsoulx":Mah! Parlando di geometria, se qualcuno mi dice che non posso usare la riga, io intendo che che richieda una costruzione 'classica' dove il compasso è semplicemente uno strumento in grado di tracciare una circonferenza dato il centro e un punto di questa. In caso contrario, come spieghi l'esclusione della riga?

non lo so. l'ho premesso che era un enunciato un po' così, quindi non saprei dare un interpetazione diversa da quella a cui ho pensato io e che sia risolubile in modo elementare.

Vorrei aggiungere una considerazione sull'uso della riga in relazione al compasso non collassabile.

Se anche fosse consentito l'uso della riga ma non del compasso per trasferire i segmenti dalla sfera al foglio, come si potrebbe fare?

[orsoulx]

"sprmnt21":Se anche fosse consentito l'uso della riga ma non del compasso per trasferire i segmenti dalla sfera al foglio, come si potrebbe fare?

Questa è una delle infinite domande a cui non sono in grado di rispondere!
Un po' per scherzo, ma non del tutto, si potrebbe usare la metafisica.
Nelle dimostrazioni a tre o più dimensioni i solidi non sono impenetrabili: si costruiscono piani rette e quant'altro serve dove ci pare e piace. Introduciamo il nostro foglio/piano nella sfera in modo che passi per i quattro punti trovati e abbiamo la circonferenza voluta, senza manco cercarne il centro.

[Sk_Anonymous]

mah, io continuo a pensare che lo scopo di questo problema sia solo di trovare il modo di determinare un piano equatoriale.
Siccome si parla di sfera di legno e di un foglio di carta e non di sfera e piani geometrici, io penso che anche il compasso sia un compasso da geometra (nel senso di quesllo che va al cattasto per le visure) non di quello che poteva entrare nell'Accademia di Platone.

[Aster89]

"sprmnt21":In effetti, la battuta non fa una piega .

ahahahahahah