Triangolo estremante
023.
What maximal area can have a triangle if its sides a,b,c satisfy
inequality 0 <= a <= 1 <= b <= 2 <= c <= 3?
PS
io ho trovato degli argomenti geometrici, ma mi farebbe piacere vedere anche argomenti algebrici, che magari fanno uso del teorema di Erone, am anche no ...
What maximal area can have a triangle if its sides a,b,c satisfy
inequality 0 <= a <= 1 <= b <= 2 <= c <= 3?
PS
io ho trovato degli argomenti geometrici, ma mi farebbe piacere vedere anche argomenti algebrici, che magari fanno uso del teorema di Erone, am anche no ...
Risposte
Ci provo.
A partire dalla formula di Erone, si trova che massimizzare l'area di un triangolo equivale a massimizzare la seguente espressione:
$A = -a^4 -b^4 -c^4 + 2a^2 b^2 + 2b^2 c^2 + 2c^2 a^2$
La cui derivata rispetto a $c$ è:
$\frac{ \partial A}{\partial c} = -4c(c^2 - a^2 - b^2)$
Dunque, fissati $a$ e $b$, l'area assume valore massimo per $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, ovvero quando $a$ e $b$ sono cateti di un triangolo rettangolo.
Nel nostro caso dunque l'area è massima quando $a=1$, $b=2$ e $c= \sqrt{5}$. L'area è $1$.
A partire dalla formula di Erone, si trova che massimizzare l'area di un triangolo equivale a massimizzare la seguente espressione:
$A = -a^4 -b^4 -c^4 + 2a^2 b^2 + 2b^2 c^2 + 2c^2 a^2$
La cui derivata rispetto a $c$ è:
$\frac{ \partial A}{\partial c} = -4c(c^2 - a^2 - b^2)$
Dunque, fissati $a$ e $b$, l'area assume valore massimo per $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, ovvero quando $a$ e $b$ sono cateti di un triangolo rettangolo.
Nel nostro caso dunque l'area è massima quando $a=1$, $b=2$ e $c= \sqrt{5}$. L'area è $1$.
"robbstark":
Ci provo.
A partire dalla formula di Erone, si trova che massimizzare l'area di un triangolo equivale a massimizzare la seguente espressione:
$A = -a^4 -b^4 -c^4 + 2a^2 b^2 + 2b^2 c^2 + 2c^2 a^2$
La cui derivata rispetto a $c$ è:
$\frac{ \partial A}{\partial c} = -4c(c^2 - a^2 - b^2)$
Dunque, fissati $a$ e $b$, l'area assume valore massimo per $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, ovvero quando $a$ e $b$ sono cateti di un triangolo rettangolo.
Nel nostro caso dunque l'area è massima quando $a=1$, $b=2$ e $c= \sqrt{5}$. L'area è $1$.
Perfetto!
Direi che ci siamo (nel senso che il valore ottenuto è uguale a quello che ottengo io per "via geometrica").
PS
tanto per parlare di matematica, aggiungo delle osservazioni al contorno
Forse (io ho fatto molto anni fa analisi e quindi non ho ricordi affidabilissimi) dal punto di vista analitico la massimizzazione "rigorosa" di una funzione in più variabili richiederebbe ulteriori considerazioni. Quella da te ottenuta è sicuramente una condizione necessaria, ma non so se, da sola (volendo essere pignoli), basti a chiudere formalmente la questione.
PPS
tanto per non parlare di matematica, vorrei chiedere se giudicate questo problema banale(nel senso di problema con soluzione autoevidente/troppo scontata)?
"sprmnt21":
Forse (io ho fatto molto anni fa analisi e quindi non ho ricordi affidabilissimi) dal punto di vista analitico la massimizzazione "rigorosa" di una funzione in più variabili richiederebbe ulteriori considerazioni.
Esatto, solo che io ho massimizzato l'area in funzione di una sola variabile, ovvero il lato $c$, fissati $a$ e $b$. Tra i triangoli con $a$ e $b$ fissati, se $c$ è totalmente libero, il massimo si ottiene quando $c$ è ipotenusa. Date le condizioni del problema, questo fatto si può realizzare qualunque sia la scelta di $a$ e $b$. (Diverso sarebbe stato se avessi voluto minimizzare rispetto a $b$, o le condizioni del problema fossero state diverse).
A questo punto l'area massima, dati $a$ e $b$, risulta $ab/2$, che è ovviamente massima se $a$ e $b$ assumono i valori massimi possibili.
"sprmnt21":
PPS
tanto per non parlare di matematica, vorrei chiedere se giudicate questo problema banale(nel senso di problema con soluzione autoevidente/troppo scontata)?
Non mi pare autoevidente, nel senso che non sapevo o non ricordavo la soluzione prima di risolvere il problema, e senza le osservazioni fatte, la minimizzazione da analisi 2, con moltiplicatori di Lagrange e condizioni al contorno, non mi pare facile.
Un problema che mi viene in mente al momento e forse potrebbe essere più difficile, anche se ad occhio la soluzione mi pare prevedibile, è trovare il triangolo di area massima tra quelli con lo stesso perimetro.
"robbstark":
...
Esatto, solo che io ho massimizzato l'area in funzione di una sola variabile, ovvero il lato $c$, fissati $a$ e $b$. Tra i triangoli con $a$ e $b$ fissati, se $c$ è totalmente libero, il massimo si ottiene quando $c$ è ipotenusa. Date le condizioni del problema, questo fatto si può realizzare qualunque sia la scelta di $a$ e $b$. (Diverso sarebbe stato se avessi voluto minimizzare rispetto a $b$, o le condizioni del problema fossero state diverse).
A questo punto l'area massima, dati $a$ e $b$, risulta $ab/2$, che è ovviamente massima se $a$ e $b$ assumono i valori massimi possibili.
...
Sí, in fondo la condizione che ottengo dalla derivata rispetto a $c$, ovvero fissati $a$ e $b$ si può ottenere banalmente senza sti calcoli.
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