Costruire un triangolo dati un lato e le distanze degli altri due dal circoncentro
Costruire un triangolo dati gli elementi forniti in questo problema
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senza che però ci sia alcuna relazione particolare tra i segmenti dati.
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senza che però ci sia alcuna relazione particolare tra i segmenti dati.
Risposte
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Non ho capito se il link che hai allegato faccia riferimento ad una diversa discussione sullo stesso argomento.
Vorrei in ogni caso proporre una via leggermente diversa, pur rimanendo nell'ambito "algebrico"[nota]il problema può essere risolto in maniera diretta e abbastanza agevolmente per via puramente euclidea[/nota], senza l'appoggio della trigonometria ma richiedendo l'intervento di Tolomeo (che dio l'abbia in gloria).
Giusto per comodità dei calcoli, chiamo 2a, 2b e 2c i lati del triangolo.
Per Tolomeo, sia ha che:
$2p\cdot2a+2q\cdot2b=2r\cdot2c$
Da questa unitamente alle seguenti:
$a^2=r^2-p^2$ e $b^2=r^2-q^2$
ripercorrendo i calcoli che hai eseguito tu, si ottiene la seguente relazione:
$r^2=(4 c^2 p^2 q^2)/((-c+p+q) (c+p-q) (c-p+q) (c+p+q))$
da cui poi si ottengono i lati 2a e 2b del triangolo.
Vorrei in ogni caso proporre una via leggermente diversa, pur rimanendo nell'ambito "algebrico"[nota]il problema può essere risolto in maniera diretta e abbastanza agevolmente per via puramente euclidea[/nota], senza l'appoggio della trigonometria ma richiedendo l'intervento di Tolomeo (che dio l'abbia in gloria).
Giusto per comodità dei calcoli, chiamo 2a, 2b e 2c i lati del triangolo.
Per Tolomeo, sia ha che:
$2p\cdot2a+2q\cdot2b=2r\cdot2c$
Da questa unitamente alle seguenti:
$a^2=r^2-p^2$ e $b^2=r^2-q^2$
ripercorrendo i calcoli che hai eseguito tu, si ottiene la seguente relazione:
$r^2=(4 c^2 p^2 q^2)/((-c+p+q) (c+p-q) (c-p+q) (c+p+q))$
da cui poi si ottengono i lati 2a e 2b del triangolo.
Un'altra via ancora potrebbe essere questa:
dalla formula che lega l'area S di un triangolo di lati a, b e c al raggio R del cerchio circoscritto:
$R= {abc}/{4S}$
e dalla formula di Erone per l'area di un triangolo in funzione dei suoi lati:
$16 S^2 =(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$
si può ricavare quanto cercato.
dalla formula che lega l'area S di un triangolo di lati a, b e c al raggio R del cerchio circoscritto:
$R= {abc}/{4S}$
e dalla formula di Erone per l'area di un triangolo in funzione dei suoi lati:
$16 S^2 =(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$
si può ricavare quanto cercato.
L'URL in testa al mio "paper ... non è un i]link (essendo unb dettaglio di un'immagine PNG). E' però l'indirizzo di questo topic.
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Ovviamente, l'uso delle funzioni circolari è comodo ma non è necessario (potendosi. in linea di principio, sostituire il seno di un angolo con un rapporto tra un cateto e l'ipotenusa d'un opportuno triangolo rettangolo [ed il coseno dello stesso angolo col rapporto tra l'altro cateto e l'ipotenusa dello stesso triangolo rettangolo].
Ma siccime le incognitre sono tre ($r$, $a$ e $b$), messa questa formula assieme alle altre due (che con la tua notazione sono $r^2 = p^2 + a^2$ e $r^2 = q^2 + b^2$) .. viene un bel casino ... un vero labirinto da cui è difficile uscire!
[E' stato il mio primo approccio al problema, poi abbandonato perché troppo incasinato!).
Io ho cercato una equazione nella sola r ... e l'ho trovata sfruttando la formula di somma del seno. Penso che ci siano altri modi di scrivere un'equazione in qualcuna delle incognite (o in tutte) $r$, $a$ e $b$.
[Beh: mi pare anche che la mia soluzione sia molto elegante.
]
Consideriamo l'esempio con cui termina il mio "paper", ossia il triangolo di lati lunghi 13, 14 e 15.
Il raggio del cerchio circoscritto vale $r = 65/8$, la distanza del circocentro dal lato lungo 13 vale $p =39/8$ e quella dal lato lungo 15 vale $q = 25/8$.
Ho scritto che deve essere in generale (usando la tua notazione per ciui il lato noto è 2c= 14):
$2psqrt(r^2-p^2) + 2qsqrt(r^2-p^2)= 2cr$
Ed infatti mettemdo i numeri si trova:
$2psqrt(r^2-p^2) + 2qsqrt(r^2-p^2)=39/4sqrt((65/8)^2 - (25/8)^2) + 25/4sqrt((65/8)^2 - (39/8)^2) = 113,75$;
$2cr = 14·65/8 = 113,75$.
Ma se mettiamo i numeri nella tua formula – supposto che io la sappia leggere come intendi tu –trovo:
$2p⋅2a+2q⋅2b = 39/4·13 + 25/4·15 =220,5$;
$2r·2c = 65/4·14 = 227,5 ≠ 220,5$.
Ergo: Mi pare che fin'ora tu non abbia migliorato niente!
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Ovviamente, l'uso delle funzioni circolari è comodo ma non è necessario (potendosi. in linea di principio, sostituire il seno di un angolo con un rapporto tra un cateto e l'ipotenusa d'un opportuno triangolo rettangolo [ed il coseno dello stesso angolo col rapporto tra l'altro cateto e l'ipotenusa dello stesso triangolo rettangolo].
"sprmnt21":Questa formula ($R=(abc)/(4S)$ – dove $S$ si ricavva dai soli lati (Erone) come hai scritto tu – è appunto usata da me per la verifica.
[...]
$R= {abc}/{4S}$
e dalla formula di Erone per l'area di un triangolo in funzione dei suoi lati:
$16 S^2 =(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$
si può ricavare quanto cercato.
Ma siccime le incognitre sono tre ($r$, $a$ e $b$), messa questa formula assieme alle altre due (che con la tua notazione sono $r^2 = p^2 + a^2$ e $r^2 = q^2 + b^2$) .. viene un bel casino ... un vero labirinto da cui è difficile uscire!
[E' stato il mio primo approccio al problema, poi abbandonato perché troppo incasinato!).
Io ho cercato una equazione nella sola r ... e l'ho trovata sfruttando la formula di somma del seno. Penso che ci siano altri modi di scrivere un'equazione in qualcuna delle incognite (o in tutte) $r$, $a$ e $b$.
[Beh: mi pare anche che la mia soluzione sia molto elegante.
]"sprmnt21":Non conosco questo tuo "Tolomeo". E la formula non l'ho capita. Anzi: qualcosa non mi quadra!
[...] $2p⋅2a+2q⋅2b=2r⋅2c$ [...]
Consideriamo l'esempio con cui termina il mio "paper", ossia il triangolo di lati lunghi 13, 14 e 15.
Il raggio del cerchio circoscritto vale $r = 65/8$, la distanza del circocentro dal lato lungo 13 vale $p =39/8$ e quella dal lato lungo 15 vale $q = 25/8$.
Ho scritto che deve essere in generale (usando la tua notazione per ciui il lato noto è 2c= 14):
$2psqrt(r^2-p^2) + 2qsqrt(r^2-p^2)= 2cr$
Ed infatti mettemdo i numeri si trova:
$2psqrt(r^2-p^2) + 2qsqrt(r^2-p^2)=39/4sqrt((65/8)^2 - (25/8)^2) + 25/4sqrt((65/8)^2 - (39/8)^2) = 113,75$;
$2cr = 14·65/8 = 113,75$.
Ma se mettiamo i numeri nella tua formula – supposto che io la sappia leggere come intendi tu –trovo:
$2p⋅2a+2q⋅2b = 39/4·13 + 25/4·15 =220,5$;
$2r·2c = 65/4·14 = 227,5 ≠ 220,5$.
Ergo: Mi pare che fin'ora tu non abbia migliorato niente!
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"Erasmus_First":Questa formula ($R=(abc)/(4S)$ – dove $S$ si ricavva dai soli lati (Erone) come hai scritto tu – è appunto usata da me per la verifica.
[quote="sprmnt21"][...]
$R= {abc}/{4S}$
e dalla formula di Erone per l'area di un triangolo in funzione dei suoi lati:
$16 S^2 =(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$
si può ricavare quanto cercato.
Ma siccime le incognitre sono tre ($r$, $a$ e $b$), messa questa formula assieme alle altre due (che con la tua notazione sono $r^2 = p^2 + a^2$ e $r^2 = q^2 + b^2$) •.. viene un bel casino ... un labirinto da cui è difficile uscire!
[/quote]
Forse qua non sono stato abbastanza chiaro: un po' per pigrizia un po' perché non volevo dare un suggerimento non richiesto per la soluzione geometrica pura, ho riportato le formule con i nomi classici dei lati di un traingolo.
Le formule non vanno applicate al traingolo di lati "a", "b" e "c" del problema originario, ma al triangolo (come dire?) di servizio di lati "a"=2p, "b"=2q e "c"=2c [è anche R=r] che sono noti e quindi non bisogna fare alcun calcolo: le due formule danno direttamente la soluzione del problema: cioé r e quindi "a" e "b" con il teorema di Pitagora.
[Beh: mi pare anche che la mia soluzione sia molto elegante.
indubbiamente
"sprmnt21":Non conosco questo tuo "Tolomeo". E la formula non l'ho capita. Anzi: qualcosa non mi quadra!
[...] $2p⋅2a+2q⋅2b=2r⋅2c$ [...]
peccato che non conosca il teorema di Tolomeo. Secondo me è di pari importanza del teorema di Pitagora di cui, sotto certi aspetti, è una generalizzazione.
E la formula non l'ho capita. Anzi: qualcosa non mi quadra!
hai ragione: qualcosa non quadra. Ma il problema non è nella formula di Toleomeo che è usata correttamente, ma nella definizione di a e b che ho invertito: avrei dovuto scrivere $ b^2=r^2-p^2 $ e $ a^2=r^2-q^2 $.
Ergo: fin'ora non hai migliorato niente!
Non volevo migliorare alcunché in realtà: ho scritto: "Vorrei in ogni caso proporre una via leggermente diversa, ...".
dalla costruzione del triangolo ABD di cui si conoscono i tre lati, si ricava facilmente il triangolo richiesto ABC.
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