Un esercizio per maturandi
Segnalo un interessante esercizio, peraltro sicuramente alla portata di uno studente del V anno.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Risposte
Quanto al punto 1), non si tratta di costruire l'integrale di una successione: quello e' l'integrale del limite di una successione.
ma nel membro di sinistra no! c'è prima l'integrale e poi il limite....a parte questo i miei dubbi restano, se non legati strettamente all'esercizio, almeno proprio come dubbi-curiosità...quindi le domande rimangono quelle
attendo chiarimenti ai dubbi riportati nel post precedente quello di sandokan che sta sopra (perdonate la mia lentezza nell'apprendere e nel ragionare
) .....ah...dimenticavo...buon fine settimana a tutti!!!
attendo chiarimenti ai dubbi riportati nel post precedente quello di sandokan che sta sopra (perdonate la mia lentezza nell'apprendere e nel ragionare
) .....ah...dimenticavo...buon fine settimana a tutti!!!
Caro Wizard, ne' nel primo ne' nel secondo membro dell'uguaglianza $\lim\intf_n=\int\limf_n$ c'e' l'integrale di una successione... Tieni presente che quelli sono integrali definiti.
Nel primo membro si fa prima l'integrale di ciascuna $f_n$; in questo modo si ottiene per ogni $n$ un numero $c_n$. Poi si fa il limite della successione di numeri $c_n$.
Nel secondo invece si calcola prima il limite della successione $f_n$; questo limite sara' una funzione $f$: si calcola l'integrale di $f$.
Chiaramente non e' detto in generale che $\lim\intf$ esista, che $f$ sia integrabile, che i due membri dell'uguaglianza coincidano.
Nel primo membro si fa prima l'integrale di ciascuna $f_n$; in questo modo si ottiene per ogni $n$ un numero $c_n$. Poi si fa il limite della successione di numeri $c_n$.
Nel secondo invece si calcola prima il limite della successione $f_n$; questo limite sara' una funzione $f$: si calcola l'integrale di $f$.
Chiaramente non e' detto in generale che $\lim\intf$ esista, che $f$ sia integrabile, che i due membri dell'uguaglianza coincidano.
quindi diciamo che l'integrale di una successione non esiste: si fissa $n$ e per ogni $n$ fissato si fa l'integrale della funzione che gli corrisponde; quello che ne viene è che, con abuso di linguaggio, "l'integrale di una successione di funzioni" è una successione numerica (che poi passeremo al limite)...corretto?
per le curiosità 3 e 4 del punto 1, per i punti 2 e 3 come funziona?
per le curiosità 3 e 4 del punto 1, per i punti 2 e 3 come funziona?
eccomi... ho dei problemi di login e spesso non riesco ad entrare... comunque
curiosità 3)
si può fare in diversi modi. Ad esempio tutte le $f_n$ si possono prolungare alla funzione nulla fuori dal loro dominio di definizione. Formalmente si fa nel seguente modo. Sia $[a_n,b_n]$ il dominio di $f_n$ e sia $\chi[a_n,b_n]$ la funzione caratteristica dell'intervallo $[a_n,b_n]$, la quale, per definizione, vale $1$ dentro tale intervallo e $0$ altrove. Sia ora $[a,b]$ un dominio che contiene tutti i domini delle varie $f_n$, allora si possono considerare gli integrali $\int_a^b\chi[a_n,b_n]f_n$ ...
come vedi la cosa è un pò tecnica.. per cui lasciala perdere (almeno per ora!)
curiosità 4)
il limite non c'è! è una successione alternante e quindi non può convergere. Per quanto riguarda l'integrale devi fare quello della prima funzione se n è pari e quello della seconda se è dispari
il resto rispondo dopo che vado a pranzo
curiosità 3)
si può fare in diversi modi. Ad esempio tutte le $f_n$ si possono prolungare alla funzione nulla fuori dal loro dominio di definizione. Formalmente si fa nel seguente modo. Sia $[a_n,b_n]$ il dominio di $f_n$ e sia $\chi[a_n,b_n]$ la funzione caratteristica dell'intervallo $[a_n,b_n]$, la quale, per definizione, vale $1$ dentro tale intervallo e $0$ altrove. Sia ora $[a,b]$ un dominio che contiene tutti i domini delle varie $f_n$, allora si possono considerare gli integrali $\int_a^b\chi[a_n,b_n]f_n$ ...
come vedi la cosa è un pò tecnica.. per cui lasciala perdere (almeno per ora!)
curiosità 4)
il limite non c'è! è una successione alternante e quindi non può convergere. Per quanto riguarda l'integrale devi fare quello della prima funzione se n è pari e quello della seconda se è dispari
il resto rispondo dopo che vado a pranzo
comunque, in ogni caso, l'integrale di una successione si fa fissando di volta in volta la $n$, poi si trova l'integrale della funzione corrispondente alla $n$ e alla fine l'integrale è una successione numerica della $n$...questa è l'idea intuitiva che mi sono fatto con le vostre risposte...è così?
si è cosi!
rispondo alle domande in sospeso:
2) devi usare il fatto che i razionali sono numerabili e quindi li puoi descrivere attraverso una successione $q_n$.
3) certo!
rispondo alle domande in sospeso:
2) devi usare il fatto che i razionali sono numerabili e quindi li puoi descrivere attraverso una successione $q_n$.
3) certo!
grazie per i chiarimenti....
tornando alla nostra successione: potrei trovare una sucessione di funzioni definendola per casi e usando come casi gli $n$ razionali...cioè una cosa del genere
$f_n(x)= \mbox { una certa cosa di x, se x è uno dei primi n razionali}$
$f_n(x)= \mbox { una cert'altra cosa di x se x è un altro numero diverso dai primi n razionali }$
però in questo modo non credo sia riemann-integrabile....
tornando alla nostra successione: potrei trovare una sucessione di funzioni definendola per casi e usando come casi gli $n$ razionali...cioè una cosa del genere
$f_n(x)= \mbox { una certa cosa di x, se x è uno dei primi n razionali}$
$f_n(x)= \mbox { una cert'altra cosa di x se x è un altro numero diverso dai primi n razionali }$
però in questo modo non credo sia riemann-integrabile....
chiarisci prima cosa significa "una certa cosa di $x$" e poi vediamo se è R-integrabile
allora...vediamo un poco....
$f_n(x)=\frac{n}{x}sen\frac{x}{n} \mbox { se } x \in QQ_n[0;1]$
$f_n(x)=\frac{x}{n} \mbox { se } x \in A=\{[0;1]-QQ_n[0;1]\}$
dove con $QQ_n[0;1]$ intendo i primi $n$ razionali presenti nell'intervallo $[0;1]$ e con $A=\{[0;1]-QQ_n[0;1]\}$ intendo l'insieme dei restanti numeri dell'intervallo $[0;1]$
io penso che sia riemann-integrabile perchè suddiviso $[0;1]$ negli intervallini il minimo e il messimo sono dipendenti oltre che da $n$ anche da $x$ e quindi più piccolo è $x$ più piccolo è il valore massimo delle $x$ di un intervallino e più piccolo è il massimo e questa diminuzione si può provocare aumentando gli intervallini....ovviamente per $n \to +\infty$ la $f_n$ converge sulla dirichlet (facendo $n \to +\infty$ allora $QQ_n[0;1]$ diventa l'intervallo di tutti i razionali e $A=\{[0;1]-QQ_n[0;1]\}$ quello di tutti gli irrazionali, contemporaneamente $\frac{n}{x}sen\frac{x}{n} \to 1$ e $\frac{x}{n} \to 0$)
stavolta ho provato a spiegare quello che ho fatto però non so quanti errori ho fatto....
$f_n(x)=\frac{n}{x}sen\frac{x}{n} \mbox { se } x \in QQ_n[0;1]$
$f_n(x)=\frac{x}{n} \mbox { se } x \in A=\{[0;1]-QQ_n[0;1]\}$
dove con $QQ_n[0;1]$ intendo i primi $n$ razionali presenti nell'intervallo $[0;1]$ e con $A=\{[0;1]-QQ_n[0;1]\}$ intendo l'insieme dei restanti numeri dell'intervallo $[0;1]$
io penso che sia riemann-integrabile perchè suddiviso $[0;1]$ negli intervallini il minimo e il messimo sono dipendenti oltre che da $n$ anche da $x$ e quindi più piccolo è $x$ più piccolo è il valore massimo delle $x$ di un intervallino e più piccolo è il massimo e questa diminuzione si può provocare aumentando gli intervallini....ovviamente per $n \to +\infty$ la $f_n$ converge sulla dirichlet (facendo $n \to +\infty$ allora $QQ_n[0;1]$ diventa l'intervallo di tutti i razionali e $A=\{[0;1]-QQ_n[0;1]\}$ quello di tutti gli irrazionali, contemporaneamente $\frac{n}{x}sen\frac{x}{n} \to 1$ e $\frac{x}{n} \to 0$)
stavolta ho provato a spiegare quello che ho fatto però non so quanti errori ho fatto....
non capisco perchè ti sei fossilizzato su quella successione complicatissima!
fra l'altro la spiegazione che le $f_n$ sono R-int è un pò oscura e non l'ho capita molto...
c'è una maniera più semplice.. ti do l'input: parti dalla funzione nulla $f_0\equiv0$ e comincia ad agiiungere "uni":
$f_1=0$ per $x\neq_1$ e $f_1(q_1)=1$.... eccetera
fra l'altro la spiegazione che le $f_n$ sono R-int è un pò oscura e non l'ho capita molto...
c'è una maniera più semplice.. ti do l'input: parti dalla funzione nulla $f_0\equiv0$ e comincia ad agiiungere "uni":
$f_1=0$ per $x\neq_1$ e $f_1(q_1)=1$.... eccetera
mi credi se ti dico che dubbi non ne ho ma non ti seguo proprio
per quanto rigurda la successione che ho proposto io la vedo così:
sia $n_0$ un fissato numero razionale e si divida l'intervallo d'integrazione $[0;1]$ in $k$ sottointervalli: a questo punto, i primi $n_0$ razionali contenuti in $[0;1]$ saranno come minimo contenuti tutti nel primo di questi intervallini; supponiamo che accada ciò: nei restanti $k-1$ intervalli la funzione è definita dall'equazione $f_n(x)=\frac{x}{n}$ e in questi intervallini ci sono sia razionali che irrazionali, inoltre la funzione è continua e quindi integrabile secondo riemann; il problema è dunque la sua integrabilità nel primo intervallino: visualizzando graficamente $\frac{n}{x}sen\frac{x}{n}$ e $\frac{x}{n}$ si vede che il grafico della seconda sta sempre sopra il grafico della prima, ne segue che nel primo intervallino il massimo è stabilito da $\frac{x}{n}$ e il minimo da $\frac{n}{x}sen\frac{x}{n}$: questo primo intervallino ha come primo razionale $0$ e il minimo è $0$ e il massimo è dato dall'ultimo valore di questo intervallino (sia esso razionale o irrazionale) che è certamente maggiore di $0$. Ora, se si aumentano gli intervallini all'infinito i primi $n_0$ razionali possono essere distribuiti o meno in più intervallini ma resta il fatto che in ogni intervallino massimo e minimo non sono legati al numero $n_0$ dei razionali presi ma alla $x$ dell'intervallino: più piccolo è l'intervallino minore è la differenza tra primo razionale dell'intervallino e ultimo termine dell'intervallino (se non ci sono i razionali legati a $n_0$ dalla successione $q_n$ meglio ancora) e quindi la differenza tra le somme integrali diminuisce al crescere degli intervallini
è una spiegazione molto fantasiosa ma è la spiegazione che mi ero dato...ma considerando quello che hai detto non credo vada bene
quanto alla tua successione io la costruirei così
$f_n=0 \mbox { se } x \ne \mbox {primi n razionali}$
$f_n=1 \mbox { se } x = \mbox {primi n razionali}$
ma non credo che cosi sia integrabile
mmm...complicato sto esercizio
per quanto rigurda la successione che ho proposto io la vedo così:
sia $n_0$ un fissato numero razionale e si divida l'intervallo d'integrazione $[0;1]$ in $k$ sottointervalli: a questo punto, i primi $n_0$ razionali contenuti in $[0;1]$ saranno come minimo contenuti tutti nel primo di questi intervallini; supponiamo che accada ciò: nei restanti $k-1$ intervalli la funzione è definita dall'equazione $f_n(x)=\frac{x}{n}$ e in questi intervallini ci sono sia razionali che irrazionali, inoltre la funzione è continua e quindi integrabile secondo riemann; il problema è dunque la sua integrabilità nel primo intervallino: visualizzando graficamente $\frac{n}{x}sen\frac{x}{n}$ e $\frac{x}{n}$ si vede che il grafico della seconda sta sempre sopra il grafico della prima, ne segue che nel primo intervallino il massimo è stabilito da $\frac{x}{n}$ e il minimo da $\frac{n}{x}sen\frac{x}{n}$: questo primo intervallino ha come primo razionale $0$ e il minimo è $0$ e il massimo è dato dall'ultimo valore di questo intervallino (sia esso razionale o irrazionale) che è certamente maggiore di $0$. Ora, se si aumentano gli intervallini all'infinito i primi $n_0$ razionali possono essere distribuiti o meno in più intervallini ma resta il fatto che in ogni intervallino massimo e minimo non sono legati al numero $n_0$ dei razionali presi ma alla $x$ dell'intervallino: più piccolo è l'intervallino minore è la differenza tra primo razionale dell'intervallino e ultimo termine dell'intervallino (se non ci sono i razionali legati a $n_0$ dalla successione $q_n$ meglio ancora) e quindi la differenza tra le somme integrali diminuisce al crescere degli intervallini
è una spiegazione molto fantasiosa ma è la spiegazione che mi ero dato...ma considerando quello che hai detto non credo vada bene
quanto alla tua successione io la costruirei così
$f_n=0 \mbox { se } x \ne \mbox {primi n razionali}$
$f_n=1 \mbox { se } x = \mbox {primi n razionali}$
ma non credo che cosi sia integrabile
mmm...complicato sto esercizio
tu dici che la differenza fra somme integrali superiori e inferiori decresce, ma chi dice che tende proprio a zero?
vediamo di inglobare il tuo problema in uno più generale: sei d'accordo che ogni tua $f_n$ è continua a meno di un numero finito di punti? (che sarebbero i primi $n$ razionali). Sei d'accordo che anche la $f_n$ che ti ho suggerito e che tu hai ben costruito verifica questa proprietà?
Se siamo d'accordo su questo, direi che tutto sta a dimostrare il seguente
Teorema: Sia $f:[a,b]-RR$ continua a meno di un numero finito di punti, allora $f$ è R-integrabile.
idee per la dimostrazione?
vediamo di inglobare il tuo problema in uno più generale: sei d'accordo che ogni tua $f_n$ è continua a meno di un numero finito di punti? (che sarebbero i primi $n$ razionali). Sei d'accordo che anche la $f_n$ che ti ho suggerito e che tu hai ben costruito verifica questa proprietà?
Se siamo d'accordo su questo, direi che tutto sta a dimostrare il seguente
Teorema: Sia $f:[a,b]-RR$ continua a meno di un numero finito di punti, allora $f$ è R-integrabile.
idee per la dimostrazione?
no...aspetta...quella che ho costruito sulla scorta del tuo suggerimento è riemann-integrabile...perchè?
se comincio a indovinare le risposte senza sapere perchè direi che comincio proprio benone...chiedo scusa per lo scempio che sto facendo ai danni della matematica
la successione che io ho costruito sulla scorta del tuo suggerimento è
$f_n(x)=0 \mbox { se } x \ne \mbox { primi n razionali }$
$f_n(x)=1 \mbox { se } x = \mbox { primi n razionali }$
mi spieghi per favore come fa a essere integrabile secondo riemann? a me sembra tanto che non sia integrabile per lo stesso motivo della funzione di dirichlet...
P.S.: fissato $n$ questo è un numero finito e poichè le discontinuità dipendono da $n$ anche queste sono in numero finito, quindi sono d'accordo sul fatto che entrambe le successioni sia discontinue in un numero finito di punti
se comincio a indovinare le risposte senza sapere perchè direi che comincio proprio benone...chiedo scusa per lo scempio che sto facendo ai danni della matematica
la successione che io ho costruito sulla scorta del tuo suggerimento è
$f_n(x)=0 \mbox { se } x \ne \mbox { primi n razionali }$
$f_n(x)=1 \mbox { se } x = \mbox { primi n razionali }$
mi spieghi per favore come fa a essere integrabile secondo riemann? a me sembra tanto che non sia integrabile per lo stesso motivo della funzione di dirichlet...
P.S.: fissato $n$ questo è un numero finito e poichè le discontinuità dipendono da $n$ anche queste sono in numero finito, quindi sono d'accordo sul fatto che entrambe le successioni sia discontinue in un numero finito di punti
il motivo per cui sia R-int è che l'integrale non vede le discontinuità a patto che esse siano poche... il motivo per cui non le vede emerge dalla dim del teorema che ho enunciato e sulla cui dim ti invito a riflettere...
oggi ho un pò da fare, per cui comincia a rifletterci e se vuoi scrivere qualcosa fallo... ti risp o stasera o domani.
P.s. ti faccio notare che la funzione di Dirichlet non è int perchè ogni intervallino contiene sia razionali che irrazionali... questo problema non c'è più adesso... basta prendere intervallini sufficientemente piccoli da isolare le discontinuità...
oggi ho un pò da fare, per cui comincia a rifletterci e se vuoi scrivere qualcosa fallo... ti risp o stasera o domani.
P.s. ti faccio notare che la funzione di Dirichlet non è int perchè ogni intervallino contiene sia razionali che irrazionali... questo problema non c'è più adesso... basta prendere intervallini sufficientemente piccoli da isolare le discontinuità...
"ubermensch":
Teorema: Sia $f:[a,b]-RR$ continua a meno di un numero finito di punti, allora $f$ è R-integrabile
Forse e' meglio precisare che la condizione del teorema e' solo sufficiente...
OT: che ne dite della mia firma?
allora...amici miei (posso usare questo epiteto?)...nei prossimi giorni sarò impeganto a preparare gli orali per questo liceo che non vuole più finire, quindi, se per voi va bene, io riprenderei la discussione lunedì pomeriggio (lunedì ho gli orali e poi sarà finita, così poso seguirvi meglio che la cosa mi piace)...
quanto alla firma di sandokan...perdona il mio essere una fracitumma in inglese ma non riesco a tradurla tutta, mi servirebbe il dizionario, se la traduci....
ci vediamo lunedì pomeriggio
ciao
quanto alla firma di sandokan...perdona il mio essere una fracitumma in inglese ma non riesco a tradurla tutta, mi servirebbe il dizionario, se la traduci....
ci vediamo lunedì pomeriggio
ciao
In bocca al lupo allora!
"Sandokan.":
[quote="ubermensch"]Teorema: Sia $f:[a,b]->RR$ continua a meno di un numero finito di punti, allora $f$ è R-integrabile
Forse e' meglio precisare che la condizione del teorema e' solo sufficiente...
OT: che ne dite della mia firma?[/quote]
Precisazione: la condizione del teorema è solo sufficiente! esistono esempi di funzioni definite su un dominio limitato e discontinue in una infinità di punti, ma che sono comunque integrabili (in seguito semmai ci divertiremo a trovarne un esempio).
P.s. a titolo di curiosità: è possibile addirittura trovare funzioni definite in un limitato e discontinue su un insieme non numerabile, che siano ugualmente integrabili.
P.p.s. anche io non ho capito la tua firma
P.p.p.s in bocca al lupo... riprendiamo lunedi. Spero nel frattempo di risolvere i problemi al pc. Non mi fa il login e addirittura non mi si collega da ieri. (ora sto su un pc "scroccato")
lo so che ho detto che sarei stato buono fino a lunedì pomeriggio, ma la matematica mi piace, anche se non capisco na mazza, mi piace...e proprio a motivo di ciò, stasera ho trovato 10 minuti per rileggere tutto quello che abbiamo detto fino a quì e mi sono sorti alcuni dubbi sulla dimostrazione riportata a pagina 6 del nostro topic sul fatto che in ogni intervallo ci sono sia razionali che irrazionali
procediamo con ordine...questa è la dimostrazione di uber:
allora:
domanda 1) le considerazioni che hai fatto sono relative all'intervallo chiuso $[a;b]$ ma nulla sarebbe cambiato se ti fossi riferito all'intervallo aperto $(a;b)$, giusto?
domanda 2) quando dici che mostriamo che non esiste un intervallo che contiene solo razionali (o irrazionali) e ti riferisci all'intervallo chiuso $[a;b]$ allora: a) in un generico intervallo chiuso $[a;b]$ (anche non riferito a questa dimostrazione) anche $a$ e $b$ sono numeri contenuti nell'intervallo? b) $a$ e $b$ sono razionali (o, rispettivamente, irrazionali)?
domanda 3) perchè se la successione $x_n=(\sqrt{p})/n+a$ è convergente ad $a$ da destra allora essa è definitivamente contenuta in $[a,b]$?
domanda 4) quando scrivi il prodotto $q[a;b]$ intendi dire che si moltiplicano per $q$ pure $a$ e $b$?
domanda 5) - questa credo sia la domanda più sensata delle cinque - nel passo 2 hai dimostrato che non esistono intervalli di soli irrazionali, ma siccome stiamo proprio dimostrando che non esistono intervalli di soli irrazionali, chi ci assicura che non sia proprio l'intervallo aperto $(0;a)$ un intervallo di soli irrazionali?
spero di non irritare né te né alcun altro del forum con la (molto probabile) stupidità delle mie domande e attendendo risposte dico che secondo me da domani a lunedì non riuscirò a stare lontano da questo forum (alla faccia della bella preparazione per gli orali)
procediamo con ordine...questa è la dimostrazione di uber:
"ubermensch":
uhm... credo che dovresti cominciare a prenderti un pò di responsabilità... la dimostrazione che hai fatto è sostanzialmente corretta ... ha giusto quella pecca che anche te hai notato. Il problema è il seguente: è vero che i razionali e gli irrazionali non sono completi, ma chi te lo dice che neanche una loro parte è completa, cioè chi ti dice che non esiste un intervallino $[a,b]$ formato da tutti razionali o tutti irrazionali? Bene, andiamolo a mostrare... questa te la dimostro io perchè non è del tutto banale... voglio mostrare cioè che in ogni intervallo $[a,b]$ esistono sia razionali che irrazionali. Divido la dim in due passi, nel primo mostro che esiste almeno un irrazionale, nel secondo che esiste almeno un razionale.
I Passo
Per assurdo ci siano solo razionali, sia $p$ un numero primo tale che $\sqrt{p}>b-a$ e consideriamo la successione $x_n=(\sqrt{p})/n+a$ convergente ad $a$ da destra, dunque essa è definitivamente contenuta in $[a,b]$; cioè esiste $m$ tale che $x_m\in[a,b]$ e quindi $x_m\inQQ$ per ipotesi di assurdo. Esplicitando ora dalla relazione $x_m=(\sqrt{p})/m+a$ si trova che $\sqrt{p}=m(x_m-a)$. Ora i numeri a secondo membro sono tutti razionali, per cui dovrebbe essere razionale anche $\sqrt{p}$: assurdo.
II passo
Per assurdo ci siano solo irrazionali. Sia $q\inQQ$ osserviamo allora che anche l'insieme $q[a,b]$ (che sarebbe l'insieme dei prodotti fra $q$ ed elementi dentro $[a,b]$) è formato da numeri irrazionali, in quanto il prodotto fra un razionale e un irrazionale è sempre irrazionale (verificarlo!). Osserviamo che se prendiamo $q$ vicino a $0$, allora $q[a,b]$ è un intervallino a destra dello $0$ appiccicato a $0$ quanto si vuole (basta prendere $q$ sempre più piccolo). Ne segue allora che alla fine $q[a,b]$ dovrà contenere un qualche elemento della forma $1/n$, che dà l'assurdo che vogliamo, in quanto $q[a,b]$ contiene per hp solo numeri irrazionali.
P.s. Forse queste cose si possono dim anche in maniera più veloce (e qualcuno me lo potrebbe far notare), ma non ho un libro di analisi I appresso e questa è la prima che mi è venuta in mente!
allora:
domanda 1) le considerazioni che hai fatto sono relative all'intervallo chiuso $[a;b]$ ma nulla sarebbe cambiato se ti fossi riferito all'intervallo aperto $(a;b)$, giusto?
domanda 2) quando dici che mostriamo che non esiste un intervallo che contiene solo razionali (o irrazionali) e ti riferisci all'intervallo chiuso $[a;b]$ allora: a) in un generico intervallo chiuso $[a;b]$ (anche non riferito a questa dimostrazione) anche $a$ e $b$ sono numeri contenuti nell'intervallo? b) $a$ e $b$ sono razionali (o, rispettivamente, irrazionali)?
domanda 3) perchè se la successione $x_n=(\sqrt{p})/n+a$ è convergente ad $a$ da destra allora essa è definitivamente contenuta in $[a,b]$?
domanda 4) quando scrivi il prodotto $q[a;b]$ intendi dire che si moltiplicano per $q$ pure $a$ e $b$?
domanda 5) - questa credo sia la domanda più sensata delle cinque - nel passo 2 hai dimostrato che non esistono intervalli di soli irrazionali, ma siccome stiamo proprio dimostrando che non esistono intervalli di soli irrazionali, chi ci assicura che non sia proprio l'intervallo aperto $(0;a)$ un intervallo di soli irrazionali?
spero di non irritare né te né alcun altro del forum con la (molto probabile) stupidità delle mie domande e attendendo risposte dico che secondo me da domani a lunedì non riuscirò a stare lontano da questo forum (alla faccia della bella preparazione per gli orali)
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