Un esercizio per maturandi
Segnalo un interessante esercizio, peraltro sicuramente alla portata di uno studente del V anno.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Risposte
Infatti, appunto. Per altro sotto l'esercizio da te proposto ci sta nascosto l'integrale di Lebesgue: la metrica $L^1$ e' una metrica proprio perche' in $L^1$ le funzioni uguali a meno di un insieme di misura nulla sono "la stessa funzione", anche se qui tutto e' camuffato dal fatto che le hai prese continue.
ragzzi non ditemi niente, ma adesso non posso proprio seguirvi nella soluzione dell'esercizio...ho da mettere a posto le prove scdritte dell'esame....se potete aspettate a risolverlo che mi farebbe piacere anche solo serguirvi per vedere come si fa
grazie
ciao
grazie
ciao
Non preoccuparti di questo esercizio, e pensa a saper bene la Matematica che ti serve per l'esame, in bocca al lupo.
grazie e speriamo di far crepare sto lupo 
ci sentiamo dopo gli esami scritti...ciao
salve ragazzi...proviamo a risolvere questo esercizio...come prima cosa, un chiarimento: se la metrica $d(u,v)$ è definita per le funzioni continue sull'intervallo $[-1;1]$, come facciamo a fare $d(f_n,f)$ con $f$ che in [-1,1] continua non è?
lo chiedo perchè nell'esempio postato da uber prima che partisse la funzione limite era la costante 0 che uber ha inserito nella $d(u,v)$ andando in pratica ad opeerare con la $d$ sulla funzione limite......
lo chiedo perchè nell'esempio postato da uber prima che partisse la funzione limite era la costante 0 che uber ha inserito nella $d(u,v)$ andando in pratica ad opeerare con la $d$ sulla funzione limite......
"WiZaRd":
salve ragazzi...proviamo a risolvere questo esercizio...come prima cosa, un chiarimento: se la metrica $d(u,v)$ è definita per le funzioni continue sull'intervallo $[-1;1]$, come facciamo a fare $d(f_n,f)$ con $f$ che in [-1,1] continua non è?
Questa e' veramente un'osservazione intelligente! La difficolta' da te indicata sussiste, pero' si puo' agevolmente aggirare in almeno due modi:
1) introducendo il concetto di successione di Cauchy
2) vedendo lo spazio $C^0$ delle funzioni continue come immerso in uno spazio piu' grande (nel caso nostro $L^1$) - e questo e' quello che ha fatto implicitamente ubermensch
Il metodo 2) non possiamo usarlo perche' richiede conoscenze di teoria dell'integrazione. Invece il primo e' sicuramente alla nostra portata. Se non conosci le successioni di Cauchy posso darti io qualche elemento (comunque non preoccuparti perche' e' un concetto semplicissimo).
ok......possiamo provare...vai sandokan
Bene. Ricordiamo intanto che se su un insieme $S$ e' definita una metrica $d$, la coppia $(S, d)$ si chiama spazio metrico; $S$ e' il sostegno dello spazio, gli elementi di $S$ li chiameremo punti.
(Spesso nel linguaggio e nella scrittura si usa confondere lo spazio metrico $(S, d)$ col suo sostegno $S$.)
Ebbene una successione $(x_n)$ di punti di $S$ si dice di Cauchy se:
per ogni $epsilon > 0$ esiste $nu$ tale che $d(x_n, x_m) < epsilon$ per ogni $n, m >= nu$.
Con un linguaggio piu' suggestivo, possiamo dire che $(x_n)$ e' di Cauchy se i suoi termini si infittiscono sempre piu'.
Si tratta, come si puo' intuire facilmente, di una proprieta' piu' debole della convergenza, infatti:
Sia $(x_n)$ una successione convergente in $S$. Allora $S$ e' di Cauchy.
Dim. Sia $x$ il limite di $(x_n)$. Allora fissato $epsilon > 0$ esiste $nu$ tale che $d(x_n, x) < epsilon/2$ per ogni $n >= nu$. Pertanto, per $n, m >= nu$ si ha $d(x_n, x_m) <= d(x_n, x) + d(x_m, x) < epsilon/2 + epsilon/2 = epsilon$.
(Spesso nel linguaggio e nella scrittura si usa confondere lo spazio metrico $(S, d)$ col suo sostegno $S$.)
Ebbene una successione $(x_n)$ di punti di $S$ si dice di Cauchy se:
per ogni $epsilon > 0$ esiste $nu$ tale che $d(x_n, x_m) < epsilon$ per ogni $n, m >= nu$.
Con un linguaggio piu' suggestivo, possiamo dire che $(x_n)$ e' di Cauchy se i suoi termini si infittiscono sempre piu'.
Si tratta, come si puo' intuire facilmente, di una proprieta' piu' debole della convergenza, infatti:
Sia $(x_n)$ una successione convergente in $S$. Allora $S$ e' di Cauchy.
Dim. Sia $x$ il limite di $(x_n)$. Allora fissato $epsilon > 0$ esiste $nu$ tale che $d(x_n, x) < epsilon/2$ per ogni $n >= nu$. Pertanto, per $n, m >= nu$ si ha $d(x_n, x_m) <= d(x_n, x) + d(x_m, x) < epsilon/2 + epsilon/2 = epsilon$.
per sandokan....perdona la mia ignoranza:
1) $v$ deve appartenere ai naturali?
2) tutto questo discorso come ci permette di operare con $d$ su una funzione $f$ che non fa parte del domionio di $d$? è molto probabile che io stia fraintendendo la cosa ma mi sembra che comunque $x_n$, $x_m$ e $x$ debbano appartenere al dominio di $d$ perchè noi facciamo $d(x_n,x_m)leqd(x_n,x)+d(x_m,x)$
e se, per esempio, $x$ non appartiene al dominio di $d$ non posso fare $d(x_n,x)$....dov'è che sbaglio?
1) $v$ deve appartenere ai naturali?
2) tutto questo discorso come ci permette di operare con $d$ su una funzione $f$ che non fa parte del domionio di $d$? è molto probabile che io stia fraintendendo la cosa ma mi sembra che comunque $x_n$, $x_m$ e $x$ debbano appartenere al dominio di $d$ perchè noi facciamo $d(x_n,x_m)leqd(x_n,x)+d(x_m,x)$
e se, per esempio, $x$ non appartiene al dominio di $d$ non posso fare $d(x_n,x)$....dov'è che sbaglio?
Ora lo spazio metrico $S$ si dice completo se ogni successione di Cauchy in $S$ e' convergente.
Esempio di spazio metrico completo: $RR$ con la metrica euclidea (il valore assoluto)
Esempio di spazio metrico non completo: $QQ$ con la stessa metrica
Per tornare al nostro esercizio, dobbiamo far vedere che $C^0 ([-1, 1])$, munito della metrica $L^1$ (quella da noi definita), non e' completo, cioe' dobbiamo trovare una successione in $C^0 ([-1, 1])$ che sia di Cauchy ma non convergente.
Esempio di spazio metrico completo: $RR$ con la metrica euclidea (il valore assoluto)
Esempio di spazio metrico non completo: $QQ$ con la stessa metrica
Per tornare al nostro esercizio, dobbiamo far vedere che $C^0 ([-1, 1])$, munito della metrica $L^1$ (quella da noi definita), non e' completo, cioe' dobbiamo trovare una successione in $C^0 ([-1, 1])$ che sia di Cauchy ma non convergente.
riposto perchè può darsi che con i tempi non ci siamo trovati....
tre domande
1) $v$ deve appartenere ai naturali?
2) probabilmente non sto capendo niente...però se io faccio $d(x_n,x_m)$, oppure $d(x_n,x)$, oppure $d(x_m,x)$, se abbiamo detto che $d$ è definista su un insieme $S$, allora $x_n$, $x_m$ e $x$ devono appartenere a $S$...è giusto?
3) se è giusto quanto dico al punto 2), come ci permette Cauchy di aggirare il problema?
dov'è che sbaglio?
tre domande
1) $v$ deve appartenere ai naturali?
2) probabilmente non sto capendo niente...però se io faccio $d(x_n,x_m)$, oppure $d(x_n,x)$, oppure $d(x_m,x)$, se abbiamo detto che $d$ è definista su un insieme $S$, allora $x_n$, $x_m$ e $x$ devono appartenere a $S$...è giusto?
3) se è giusto quanto dico al punto 2), come ci permette Cauchy di aggirare il problema?
dov'è che sbaglio?
"WiZaRd":
riposto perchè può darsi che con i tempi non ci siamo trovati....
tre domande
1) $v$ deve appartenere ai naturali?
2) probabilmente non sto capendo niente...però se io faccio $d(x_n,x_m)$, oppure $d(x_n,x)$, oppure $d(x_m,x)$, se abbiamo detto che $d$ è definista su un insieme $S$, allora $x_n$, $x_m$ e $x$ devono appartenere a $S$...è giusto?
3) se è giusto quanto dico al punto 2), come ci permette Cauchy di aggirare il problema?
dov'è che sbaglio?
Scusami, non avevo visto il tuo post...
Allora
1) veramente era $nu$ (la lettera greca) non $v$; comunque deve appartenere ai naturali
2) e' giusto quello che hai detto, pero' io ho dimostrato che una successione convergente e' di Cauchy; ma una successione di Cauchy puo' benissimo non essere convergente
quindi devo trovare una successione di funzioni che appartengano a $S$ (con $S$ indico il dominio di $d$), che siano di Cauchy e che non siano convergenti in $S$ ma fuori da $S$?
Quanto al punto 3), la cosa e' un po' piu' delicata. Immagina di dover dimostrare che esistono successioni di numeri razionali che ''convergono'' a un limite che non e' piu' razionale. Come faresti? Puoi seguire due strade:
1) vedere $QQ$ come immerso in un sottospazio piu' grande ($RR$), dimostrare che la successione in questione e' convergente in $RR$, e poi dimostrare che il limite non appartiene a $QQ$; oppure
2) far vedere che la successione e' di Cauchy ma non ammette limite in $QQ$.
I due metodi sono equivalenti perche' ogni spazio metrico puo' essere completato, cioe' immerso in uno spazio metrico completo.
1) vedere $QQ$ come immerso in un sottospazio piu' grande ($RR$), dimostrare che la successione in questione e' convergente in $RR$, e poi dimostrare che il limite non appartiene a $QQ$; oppure
2) far vedere che la successione e' di Cauchy ma non ammette limite in $QQ$.
I due metodi sono equivalenti perche' ogni spazio metrico puo' essere completato, cioe' immerso in uno spazio metrico completo.
"WiZaRd":
quindi devo trovare una successione di funzioni che appartengano a $S$ (con $S$ indico il dominio di $d$), che siano di Cauchy e che non siano convergenti in $S$ ma fuori da $S$?
Basta far vedere che la successione non e' convergente in $S$.
provo io vedi tu se và....
non so usare le parentesi graffe quindi scrivo così:
la successione $f_n$ così definita:
1) $f_n=-1$ se $x$ appartiene all'intervallo $[-1;frac{-1}{n})
2) $f_n=nx$ se $x$ appartiene all'intervallo $[frac{-1}{n};frac{1}{n}]$
3) $f_n=+1$ se $x$ appartiene all'intervallo $(frac{1}{n};1]$
spiego perchè: in questo modo la $f_n$ è continua e se $n rightarrow +\infty$ allora essa si riduce alla funzione segno, cioè alla funzione che vale $-1$ per le $x$ negative, $+1$ per quelle positive e non è definita per $x=0$ (se $n rightarrow +\infty$, al numero 2, $f_n$ diventa non definibile e $x=0$)
P.S.: ho scritto come viene definita la funzione segno perchè il prof ha detto che questa è una definizione convenzionale ma alcuni autori la definiscono anche per $x=0$ cosa secondo lui sbagliata, perchè in questo modo comunque non si elimina la sua discontinuità....
non so usare le parentesi graffe quindi scrivo così:
la successione $f_n$ così definita:
1) $f_n=-1$ se $x$ appartiene all'intervallo $[-1;frac{-1}{n})
2) $f_n=nx$ se $x$ appartiene all'intervallo $[frac{-1}{n};frac{1}{n}]$
3) $f_n=+1$ se $x$ appartiene all'intervallo $(frac{1}{n};1]$
spiego perchè: in questo modo la $f_n$ è continua e se $n rightarrow +\infty$ allora essa si riduce alla funzione segno, cioè alla funzione che vale $-1$ per le $x$ negative, $+1$ per quelle positive e non è definita per $x=0$ (se $n rightarrow +\infty$, al numero 2, $f_n$ diventa non definibile e $x=0$)
P.S.: ho scritto come viene definita la funzione segno perchè il prof ha detto che questa è una definizione convenzionale ma alcuni autori la definiscono anche per $x=0$ cosa secondo lui sbagliata, perchè in questo modo comunque non si elimina la sua discontinuità....
non so usare le parentesi graffe
shift+Alt Gr+ parentesi quadra
shift è il tasto che usi per scrivere in maiuscolo, sotto il lucchetto.
{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}
ciao
provo io vedi tu se và....
la successione $f_n$ così definita:
1) $f_n=-1$ se $x$ appartiene all'intervallo $[-1;frac{-1}{n})
2) $f_n=nx$ se $x$ appartiene all'intervallo $[frac{-1}{n};frac{1}{n}]$
3) $f_n=+1$ se $x$ appartiene all'intervallo $(frac{1}{n};1]$
spiego perchè: in questo modo la $f_n$ è continua e se $n rightarrow +\infty$ allora essa si riduce alla funzione segno, cioè alla funzione che vale $-1$ per le $x$ negative, $+1$ per quelle positive e non è definita per $x=0$ (se $n rightarrow +\infty$, al numero 2, $f_n$ diventa non definibile e $x=0$)
P.S.: ho scritto come viene definita la funzione segno perchè il prof ha detto che questa è una definizione convenzionale ma alcuni autori la definiscono anche per $x=0$ cosa secondo lui sbagliata, perchè in questo modo comunque non si elimina la sua discontinuità....
la successione $f_n$ così definita:
1) $f_n=-1$ se $x$ appartiene all'intervallo $[-1;frac{-1}{n})
2) $f_n=nx$ se $x$ appartiene all'intervallo $[frac{-1}{n};frac{1}{n}]$
3) $f_n=+1$ se $x$ appartiene all'intervallo $(frac{1}{n};1]$
spiego perchè: in questo modo la $f_n$ è continua e se $n rightarrow +\infty$ allora essa si riduce alla funzione segno, cioè alla funzione che vale $-1$ per le $x$ negative, $+1$ per quelle positive e non è definita per $x=0$ (se $n rightarrow +\infty$, al numero 2, $f_n$ diventa non definibile e $x=0$)
P.S.: ho scritto come viene definita la funzione segno perchè il prof ha detto che questa è una definizione convenzionale ma alcuni autori la definiscono anche per $x=0$ cosa secondo lui sbagliata, perchè in questo modo comunque non si elimina la sua discontinuità....
Sono tornato e noto con piacere che siete andati parecchio avanti, chiarendo anche dei punti che
avevo aggirato facendo finta di niente.
Comunque .... resta ora da mostrare che la successione $f_n$ che hai considerato è di Cauchy.
P.s. la strada che hai preso è molto promettente!
P.p.s. la funzione segno si definisce nulla per $x=0$. Questo, oltre ad essere intuitivo: il segno di $0$
è $0$! è anche comodo nella pratica ... molte dim di analisi funzionale sugli spazi duali, oppure sugli
spazi di Sobolev si fanno utilizzando questa definizione della funzione segno.
avevo aggirato facendo finta di niente.
Comunque .... resta ora da mostrare che la successione $f_n$ che hai considerato è di Cauchy.
P.s. la strada che hai preso è molto promettente!
P.p.s. la funzione segno si definisce nulla per $x=0$. Questo, oltre ad essere intuitivo: il segno di $0$
è $0$! è anche comodo nella pratica ... molte dim di analisi funzionale sugli spazi duali, oppure sugli
spazi di Sobolev si fanno utilizzando questa definizione della funzione segno.
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