Un esercizio per maturandi

[Chevtchenko]

Segnalo un interessante esercizio, peraltro sicuramente alla portata di uno studente del V anno.

Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):

Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:

1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$

2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$

3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.

Bene!

Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.

[G.D.5]

allora...premesso che non sapevo nemmeno che esistessero le metriche - nel corso tradizionale dello scientifico non si fanno, non lo so se si fanno allo sperimentale - provo io, vedi poi tu se và...

1) le variabili $u$ e $v$ di cui $d$ è funzione sono a loro volta funzioni della variabile $x$; se $u=v$ allora $u(x)=v(x)$, quindi $u(x)-v(x)=0$ e l'integrale si riduce a $\int_{-1}^{1}0dx$ che è ovviamente 0 (almeno credo)
2) $d(u,v)=\int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx$; $d(v,u)=\int_{-1}^{1}|v(x)-u(x)|dx=\int_{-1}^{1}|-[u(x)-v(x)]|dx=\int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx$
3) $|u-z+z-v|\leq |u-z|+|z-v|$...lo stesso vale per le funzioni:$|u(x)-v(x)|\leq|u(x)-v(x)|+|v(x)-z(x)|$ e integrando si ottiene $\int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx\leq\int_{-1}^{1}|u(x)-z(x)|dx+\int_{-1}^{1}|z(x)-v(x)|dx$ (ovviamente, se le funzioni non hanno sempre lo stesso ordine(*) in $[-1;1]$ basta spezzare l'intervallo)

(*) per ordine intendo le relazioni d'ordine $<$, $\leq$, $=$, $\geq$ e $>$.

spero sia tutto corretto, qualora non lo fosse mi spieghi perchè?

ciao

[Chevtchenko]

Ottimo, complimenti!

Solo un particolare: non hai dimostrato che da $d (u, v) = 0$ segue $u = v$ (che poi e' il passaggio piu' interessante).

[G.D.5]

Allora...se $d(u,v)=0$ allora segue $\int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx=0$...a qeusto punto se si nega la tesi si ha o che $u(x)>v(x)$ o che $u(x) se $u(x)>v(x)$ allora
$\int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx=\int_{-1}^{1}[u(x)-v(x)]dx=\int_{-1}^{1}u(x)dx-\int_{-1}^{1}v(x)dx=0$
e da questo segue che
$\int_{-1}^{1}u(x)dx=\int_{-1}^{1}v(x)dx$ e quindi $u(x)=v(x)$
nel caso $u(x)
è ok?

[Chevtchenko]

"WiZaRd":Allora...se $d(u,v)=0$ allora segue $\int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx=0$...a qeusto punto se si nega la tesi si ha o che $u(x)>v(x)$ o che $u(x) se $u(x)>v(x)$ allora
$\int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx=\int_{-1}^{1}[u(x)-v(x)]dx=\int_{-1}^{1}u(x)dx-\int_{-1}^{1}v(x)dx=0$
e da questo segue che
$\int_{-1}^{1}u(x)dx=\int_{-1}^{1}v(x)dx$ e quindi $u(x)=v(x)$
nel caso $u(x)
è ok?

Si', ma potresti spiegare meglio perche' dall'uguaglianza dei due integrali segue l'uguaglianza delle due funzioni?

[G.D.5]

perchè gli integrali sono calcolati sullo stesso intervallo? tu come avresti risolto l'esercizio?

[Chevtchenko]

Se da $\int_{-1}^{1} | u (x) | dx = 0$ segue $u (x) = 0$ per ogni $x \in [-1, 1]$, allora ovviamente da $\int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx = 0$ seguira' $| u (x) - v (x) | = 0$ per ogni $x \in [-1, 1]$, cioe' $u = v$.

[Chevtchenko]

Se vuoi fare la dimostrazione, ti accorgerai che devi usare in maniera essenziale l'ipotesi che $u$ e'...

[G.D.5]

perdonami ma non ti seguo...perchè bisogna dimostrare quello?

[G.D.5]

e poi non significherebbe che la funzione è degenere in un punto?

[Chevtchenko]

Pare che abbiamo fatto un po' di confusione con l'ordine dei post... Comunque vuoi che lo risolva io?

[G.D.5]

lo so...a un certo punto per il mio pc i lserver non era più disponibile...si mi farebbe piacere che lo risolvessi tu, spiegandomi, se possibile, perchè bisogna risolvere $\int_{-1}^{1}u(x)dx=0$

[Chevtchenko]

Intanto, se da $\int_{-1}^{1} | u (x) | dx = 0$ segue $u (x) = 0$ per ogni $x \in [-1, 1]$, allora ovviamente da $\int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx = 0$ seguira' $| u (x) - v (x) | = 0$ per ogni $x \in [-1, 1]$, cioe' $u = v$.

Ti pare?

EDIT: avevo scordato un valore assoluto

[G.D.5]

quando scriviamo $u=v$ intendiamo $u(x)=v(x)$?

[Chevtchenko]

"WiZaRd":quando scriviamo $u=v$ intendiamo $u(x)=v(x)$?

Piu' precisamente, intendiamo $u(x)=v(x)$ per ogni $x$ in $[-1, 1]$ (cioe' $u$ e $v$ sono la stessa funzione).

[G.D.5]

per dire che se da $int_{-1}^{1}u(x)dx=0$ segue $u(x)=0$ allora da $int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx$ segue che il modulo è 0 allora devo intendere $u(x)=|u(x)-v(x)|$...mi suona strano

[G.D.5]

se prima dimostro che $u(x)=0$ e poi dimostro che $v(x)=u(x)$ allora anche $v(x)=0$?!...mi sembrano delle forzature...l'integrale è zero anche se $u(x)$ e $v(x)$ non sono nulle, basta che sottendano lo stesso trapezoide (per dirla geometricamente)

[G.D.5]

allora....nella mi adimostrazione ho commesso un errore....non è vero che $int_{-1}^{1}u(x)dx=int_{-1}^{1}v(x)$ implica l'uguaglianza delle funzioni perchè in generale non è vero che due integrali uguali tra loro e fatti sullo stesso intervallo portano necessariamente a funzioni integrande uguali, e in questo caso le informazioni che si hanno non ci permettono di stabilire se le funzioni sono necessariamente uguali (è quello che dobbiamo dimostrare)

il tuo modo di procedere per me è una forzatura....voglio dire....se la $u(x)$ che sta in $int_{-1}^{1}u(x)dx$ è la stessa di quella che sta in $int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx$ allora dal fatto che $u(x)=0$ e $u(x)=v(x)$ segue che $v(x)=0$....se invece con u(x) indichi una genrica funzione allora dimostrare che $u(x)=0$ significa dimostrare che a meno di ipotesi diverse tutte le funzioni in $[-1;1]$ sono costantemente nulle, se invece u(x) è una funzione definita in qualche altro modo credo che bisognerebbe prima definirla e per pulizia di scrittura non bisognerebbe indicarla con $u$

almeno questo è quello che penso io, poi non lo so...attendo tue delucidazioni

[Principe2]

"WiZaRd":se la $u(x)$ che sta in $int_{-1}^{1}u(x)dx$ è la stessa di quella che sta in $int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx$ allora dal fatto che $u(x)=0$ e $u(x)=v(x)$ segue che $v(x)=0$....se invece con u(x) indichi una genrica funzione allora dimostrare che $u(x)=0$ significa dimostrare che a meno di ipotesi diverse tutte le funzioni in $[-1;1]$ sono costantemente nulle, se invece u(x) è una funzione definita in qualche altro modo credo che bisognerebbe prima definirla e per pulizia di scrittura non bisognerebbe indicarla con $u$

la $u$ è una funzione generica.
Infatti non credo che abbiate molta speranza di dimostrare che se $\int_{-1}^1u=0$, allora $u=0$ ...
Magari con un modulo (oppure per $u$ che non cambia segno)

[Chevtchenko]

Allora, per non confonderci ancora, facciamo cosi': indichiamo con $C^0([-1,1])$ l'insieme delle funzioni reali continue su $[-1,1]$ e dimostriamo che

1) se $f \in C^0([-1,1])$ e $\int_{-1}^{1} | f (x) | dx = 0$ allora $f = 0$ (cioe' $f (x) = 0$ per ogni $x \in [-1, 1]$)

2) se $u, v in C^0([-1,1])$ e $\int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx = 0$ allora $u = v$ (cioe' $u (x) = v (x)$ per ogni $x \in [-1, 1]$)

Parto subito con la dimostrazione... un attimo!

[Chevtchenko]

Supponiamo per il momento di aver gia' dimostrato il punto 1) e facciamo vedere che vale la 2). E' un passaggio banale, ma comunque...

Allora da $\int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx = 0$ segue $u - v = 0$, e quindi $u = v$.