Un esercizio per maturandi
Segnalo un interessante esercizio, peraltro sicuramente alla portata di uno studente del V anno.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Risposte
Forse è meglio precisare una cosa: il fatto che tu sappia intuitivamente a cosa tenda, non implica che quella successione sia di Cauchy, per il semplice motivo che una persona intuitivamente usa una metrica diversa da quella con cui stiamo lavorando!
per uber...
se la funzione segno si definisce nulla per $x=0$ allora la mia $f_n$ è sbagliata: per $nto+\infty$ l'intervallo al punto 2) diveta $0$, quindi $x=0$ ma l'espressione che da il valore della funzion, cioè l'espressione $nx$, diventa una forma d'indecisione $0 cdot +\infty$....e se non è sbagliata allora quanto meno non tende alla funzione segno....ma a una funzione simile, che è comunque discontinua...giusto?
ma se la successione non fosse di Cauchy, cosa succederebbe?
se la funzione segno si definisce nulla per $x=0$ allora la mia $f_n$ è sbagliata: per $nto+\infty$ l'intervallo al punto 2) diveta $0$, quindi $x=0$ ma l'espressione che da il valore della funzion, cioè l'espressione $nx$, diventa una forma d'indecisione $0 cdot +\infty$....e se non è sbagliata allora quanto meno non tende alla funzione segno....ma a una funzione simile, che è comunque discontinua...giusto?
ma se la successione non fosse di Cauchy, cosa succederebbe?
perchè non dovrebbe tendere a $0$ per $x=0$?
osserva che $f_n(0)=0,\foralln$ ... quindi...
Ti ricordo di riflettere sul fatto che stiamo parlando di limiti, di convergenza ...
ma non si capisce che metrica stiamo usando!
osserva che $f_n(0)=0,\foralln$ ... quindi...
Ti ricordo di riflettere sul fatto che stiamo parlando di limiti, di convergenza ...
ma non si capisce che metrica stiamo usando!
mi credi...non ti seguo...
per quanto riguarda la funzione....se $nto+\infty$ allora $f_n$ al punto 2 non diventa $+\infty cdot 0$?
per quanto riguarda cauchy.....quella successione converge a una funzione che non è continua...quindi di cosa ci preoccupiamo?
non sto capendo
per quanto riguarda cauchy.....quella successione converge a una funzione che non è continua...quindi di cosa ci preoccupiamo?
non sto capendo
"WiZaRd":
per quanto riguarda la funzione....se $nto+\infty$ allora $f_n$ al punto 2 non diventa $+\infty cdot 0$?
per quanto riguarda cauchy.....quella successione converge a una funzione che non è continua...quindi di cosa ci preoccupiamo?
non sto capendo
se passi al limite contemporaneamente su tutte e due le variabili è chiaro che succede un casino, ma non dobbiamo fare
questo... devi prima fissare il punto in cui vuoi calcolare il limite e poi passare al limite. Puoi allora osservare che ottieni $f_n(0)=0$ per ogni $n$ e quindi è nulla anche al limite.
Per quanto riguarda il problema della successione di Cauchy, ti faccio notare che stiamo implicitamente usando un concetto di convergenza puntuale. Con questo termine intendo dire che stiamo implicitamente pensando che una successione $f_n$ tende ad $f$ se $f_n(x)->f(x)$ per ogni $x$. Cioè stiamo usando la seguente nozione di convergenza:
$f_n->f$ se e solo se $\forall\varepsilon>0,\forall x\exists n$ tale che $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon,\forall n>m$
ma l'esercizio che stiamo facendo dice di considerare un'altra nozione di convergenza. Cioè la seguente:
$f_n->f$ se e solo se $\forall\varepsilon>0,\exists m$ tale che $\int_{-1}^1|f_n(x)-f(x)|dx<\varepsilon,\forall n>m$
vediamo un poco se ho capito....
la nozione di convergenza per la quale una successione $f_n$ è di cauchy è questa:
$f_n->f$ se e solo se $\forall\varepsilon>0,\forall x\exists n$ tale che $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon,\forall n>m$
ora, la $f_n$ che ho dato è implicitamente di cauchy per la definizione di convergenza di cui sopra, ma il problema è che dobbiamo verificare che essa sia di cauchy con la definizione di convergenza data dal testo del problema, cioè
$f_n->f$ se e solo se $\forall\varepsilon>0,\exists m$ tale che $\int_{-1}^1|f_n(x)-f(x)|dx<\varepsilon,\forall n>m$
dobbiamo cioè far veder che essa è di cauchy anche con questa definizione di convergenza?
la nozione di convergenza per la quale una successione $f_n$ è di cauchy è questa:
$f_n->f$ se e solo se $\forall\varepsilon>0,\forall x\exists n$ tale che $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon,\forall n>m$
ora, la $f_n$ che ho dato è implicitamente di cauchy per la definizione di convergenza di cui sopra, ma il problema è che dobbiamo verificare che essa sia di cauchy con la definizione di convergenza data dal testo del problema, cioè
$f_n->f$ se e solo se $\forall\varepsilon>0,\exists m$ tale che $\int_{-1}^1|f_n(x)-f(x)|dx<\varepsilon,\forall n>m$
dobbiamo cioè far veder che essa è di cauchy anche con questa definizione di convergenza?
io comunque continuo a non capire...quindi se non vi dispiace vi chiedo di rimandare il problema a domani perchè adesso dovrei prepararmi per la terza prova e sinceramente, non voglio perdermi niente di questo problema perchè mi piace....
quindi...possiamo continuare domani?
quindi...possiamo continuare domani?
"WiZaRd":
vediamo un poco se ho capito....
la nozione di convergenza per la quale una successione $f_n$ è di cauchy è questa:
$f_n->f$ se e solo se $\forall\varepsilon>0,\forall x\exists n$ tale che $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon,\forall n>m$
ora, la $f_n$ che ho dato è implicitamente di cauchy per la definizione di convergenza di cui sopra, ma il problema è che dobbiamo verificare che essa sia di cauchy con la definizione di convergenza data dal testo del problema, cioè
$f_n->f$ se e solo se $\forall\varepsilon>0,\exists m$ tale che $\int_{-1}^1|f_n(x)-f(x)|dx<\varepsilon,\forall n>m$
dobbiamo cioè far veder che essa è di cauchy anche con questa definizione di convergenza?
esatto!
continuiamo domani comunque... in bocca al lupo per la terza prova
(come dico sempre io) signori buon girno....(o come dice sempre il mio amico beneventano) giovani!!!....comunque, ragazzi buon girno....scusatemi se ieri sono scomparso ma ho appena avuto il tempo di rispondere al post di "cia999" prima che la ventola del pc mi lasciasse....messo a posto anche questo, torniamo al nostro esercizio....
vi confesso che l'altro ieri mentre vi seguivo ho cercato di integrare le vostre info con altre prese dalla rete (wikipedia e dispense universitarie): ho sbagliato e mi scuso....il fatto è che adesso sono parecchio confuso, quindi se permettete io direi di cominciare a mettere un poco di ordine....
allora, abbiamo detto che:
Definizione 1: Dato un insieme $S$ e una funzione $d: S \times S \rightarrow [0, +\infty)$, la funzione $d$ si dice metrica su $S$ se valgono i seguenti tre punti:
1) $d(x,y)=0 \iff x=y$, $\forall x,y \in S$
2) $d(x,y)=d(y,x)$, $\forall x,y \in S$
3) $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$, $\forall x,y,z \in S$
trovando una dispensa univeristaria di Fioravante Patrone, ho visto che la metrica viene definita così: dato un insieme $E$ e una funzione $d: E \times E \rightarrow RR$, la funzione $d$ si dice una metrica su $E$ se valgono i seguenti quattro punti:
1) $d(x,y) \geq 0$, $\forall x,y \in E$
2) $d(x,y)=0 \iff x=y$, $\forall x,y \in E$
2) $d(x,y)=d(y,x)$, $\forall x,y \in E$
3) $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$, $\forall x,y,z \in E$
detto ciò, le pirme due domande per chiarire i primi due dubbi:
1) le due definizioni sono equivalenti?
2) su un dato insieme $A$ si può definire una e una sola metrica o se ne possono definire tante quante uno è capace di trovarne?
abbiamo (o meglio, sandokan l'ha fatto) dimostrato che la funzione $d(u,v)= \int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx$ è una metrica sull'insieme delle funzioni reali di variabile reale continue nell'intervallo $[-1;1]$
ubermensch ha poi allargato il problema: abbiamo chiamato $C^0[-1;1]$ lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo $[-1;1]$ e abbiamo chiamato $(c^0[-1;1],d)$ lo spazio di cui sopra in oggetto dotato della metrica $d$; fatto ciò uber ha chiseto di dimostrare che questo spazio non è completo...ciò detto, prima di andare avanti, domanda 3:
3) quando in questo contesto di metriche usiamo la parola spazio essa è sinonimo di insieme?
uber ha detto, nel porre il quesito, che una sucessione di funzioni $f_n$ converge alla funzione $f \in S$ se $d(f_n,f) \rightarrow 0$ (ove $S$ è l'insieme sui cui stiamo considerando la metrica) e ha poi detto che lo spazio metrico è incompleto se esiste almeno una successione di funzioni che non converga in $S$ ma fuori da $S$....a questo punto domande 4, 5 e 6:
4) qunando, in generale, parliamo di una successione di funzioni, sottointendiamo che le funzioni associate agli $n \in NN$ siano tutte definite su uno stesso insieme $A$?
5) dato un inisieme $S$ e definita la metrica $d$ è sicuro che abbiamo una successione con gli elementi di $S$? cioè, può sucedere che la successione non ci sia?(nel caso particolare è sicuro che dato un insieme di funzioni si possa costruire in esso una successione di funzioni?)
6) andando su wikipedia a cercare le successioni ho trovato questa definizione di convergenza: http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_funzioni, che non usa il concetto di metrica...tra la definizione di convergenza fornita da uber e quella fornita da wikipedia, qual è quella corretta? possibile che lo siano entrambe solo che quella di uber tiene conto del fatto che stiamo in uno sapzio con metrica mentre quella di wikipedia parla di successioni senza metterle in un spazio metrico?
dopo ciò, io ho detto che pure se trovavo a naso la funzione $f$ a cui convergeva (convergere e tendere cono la stessa cosa?) la sucessione $f_n$ che ci serviva per dimostrare la tesi, essendo $f$ non continua su $[-1,1]$ essa non apparteneva allo spazio $c^0[-1,1]$ e quindi per dimostrare che $f_n$ tendeva a $f$ non potevo fare $d(f_n,f)$...sandokan ha detto che questo lo avevo centrato e ha introdotto le successioni di cauchy, ridefinendo l'incompletezza dello spazio metrico con le successioni di cauchy...a sto punto, domanda 7:
7) l'incompletezza delle spazio metrico si definisce con una sucessione generica o con le successioni di cauchy?
sandokan ha anche detto che il problema era aggirabile immergendo lo spazio metrcico considerato in uno più grande....domanda 8:
8) quando si fa una operazione del genere, nello spazio metrico più grande resta sempre definita la metrica dello spazio metrico più piccolo che abbiamo ampliato? può succedere che questa metrica non sia tale anche per lo spazio più grande?
inoltre, stando alla definizione di successione di cauchy gentilmente fornita da sandokan, nello stabilire se una successione è di cauchy o meno entra in gioco la metrica $d$...a questo punto domande 9 e 10:
9) tutto ciò significa che a seconda di qual'è la metrica che io definisco su un insieme $S$ una successione può essere o meno di cauchy? cioè, il fatto che sia una successione di cauchy dipende strettamente dalla metrica $d$ definita su $S$?
10) se ho una successione ma non ce l'ho in uno spazio metrico, questa può ugualmente essere di cauchy o è necessario metterla in uno spazio metrico perchè possa eventualmente esserlo?
dopo tutto questo, io ho sparato una successione $f_n$ e ho detto che per $n to +\infty$ questa diventava la funzione segno e l'esercizio era risolto....a ciò uber ha detto che bisognava dimostrare che quella successione era di cauchy...a questo punto le ultime domande:
11) se facendo il limite per $n \to +\infty$ di $f_n$ ottendgo l'espressione analitica $f$, è sufficiente per dire che $f$ è la funzione limite a cui $f_n$ converge?
12) sandokan ha detto che una successione di cauchy in un insieme $A$ può benissimo non essere convergente in $A$....una successione di cauchy che non è convergente in un insieme $A$ prima o poi converge a una certa funzione limite in un qualche insieme più ampio oppure può anche non convergere mai?
13) se anche dimostrassimo che la successione che ho sparato fuori è di cauchy, stante il fatto che sandokan ha detto che una successione di cauchy può anche non convergere, allora non abbiamo anche dimostrato che quella successione da qualche parte è convergente...quindi a cosa ci serve dimostrare che è una successione di cauchy?
spero di non avervi annoiato
ciao
vi confesso che l'altro ieri mentre vi seguivo ho cercato di integrare le vostre info con altre prese dalla rete (wikipedia e dispense universitarie): ho sbagliato e mi scuso....il fatto è che adesso sono parecchio confuso, quindi se permettete io direi di cominciare a mettere un poco di ordine....
allora, abbiamo detto che:
Definizione 1: Dato un insieme $S$ e una funzione $d: S \times S \rightarrow [0, +\infty)$, la funzione $d$ si dice metrica su $S$ se valgono i seguenti tre punti:
1) $d(x,y)=0 \iff x=y$, $\forall x,y \in S$
2) $d(x,y)=d(y,x)$, $\forall x,y \in S$
3) $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$, $\forall x,y,z \in S$
trovando una dispensa univeristaria di Fioravante Patrone, ho visto che la metrica viene definita così: dato un insieme $E$ e una funzione $d: E \times E \rightarrow RR$, la funzione $d$ si dice una metrica su $E$ se valgono i seguenti quattro punti:
1) $d(x,y) \geq 0$, $\forall x,y \in E$
2) $d(x,y)=0 \iff x=y$, $\forall x,y \in E$
2) $d(x,y)=d(y,x)$, $\forall x,y \in E$
3) $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$, $\forall x,y,z \in E$
detto ciò, le pirme due domande per chiarire i primi due dubbi:
1) le due definizioni sono equivalenti?
2) su un dato insieme $A$ si può definire una e una sola metrica o se ne possono definire tante quante uno è capace di trovarne?
abbiamo (o meglio, sandokan l'ha fatto) dimostrato che la funzione $d(u,v)= \int_{-1}^{1}|u(x)-v(x)|dx$ è una metrica sull'insieme delle funzioni reali di variabile reale continue nell'intervallo $[-1;1]$
ubermensch ha poi allargato il problema: abbiamo chiamato $C^0[-1;1]$ lo spazio delle funzioni continue sull'intervallo $[-1;1]$ e abbiamo chiamato $(c^0[-1;1],d)$ lo spazio di cui sopra in oggetto dotato della metrica $d$; fatto ciò uber ha chiseto di dimostrare che questo spazio non è completo...ciò detto, prima di andare avanti, domanda 3:
3) quando in questo contesto di metriche usiamo la parola spazio essa è sinonimo di insieme?
uber ha detto, nel porre il quesito, che una sucessione di funzioni $f_n$ converge alla funzione $f \in S$ se $d(f_n,f) \rightarrow 0$ (ove $S$ è l'insieme sui cui stiamo considerando la metrica) e ha poi detto che lo spazio metrico è incompleto se esiste almeno una successione di funzioni che non converga in $S$ ma fuori da $S$....a questo punto domande 4, 5 e 6:
4) qunando, in generale, parliamo di una successione di funzioni, sottointendiamo che le funzioni associate agli $n \in NN$ siano tutte definite su uno stesso insieme $A$?
5) dato un inisieme $S$ e definita la metrica $d$ è sicuro che abbiamo una successione con gli elementi di $S$? cioè, può sucedere che la successione non ci sia?(nel caso particolare è sicuro che dato un insieme di funzioni si possa costruire in esso una successione di funzioni?)
6) andando su wikipedia a cercare le successioni ho trovato questa definizione di convergenza: http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_funzioni, che non usa il concetto di metrica...tra la definizione di convergenza fornita da uber e quella fornita da wikipedia, qual è quella corretta? possibile che lo siano entrambe solo che quella di uber tiene conto del fatto che stiamo in uno sapzio con metrica mentre quella di wikipedia parla di successioni senza metterle in un spazio metrico?
dopo ciò, io ho detto che pure se trovavo a naso la funzione $f$ a cui convergeva (convergere e tendere cono la stessa cosa?) la sucessione $f_n$ che ci serviva per dimostrare la tesi, essendo $f$ non continua su $[-1,1]$ essa non apparteneva allo spazio $c^0[-1,1]$ e quindi per dimostrare che $f_n$ tendeva a $f$ non potevo fare $d(f_n,f)$...sandokan ha detto che questo lo avevo centrato e ha introdotto le successioni di cauchy, ridefinendo l'incompletezza dello spazio metrico con le successioni di cauchy...a sto punto, domanda 7:
7) l'incompletezza delle spazio metrico si definisce con una sucessione generica o con le successioni di cauchy?
sandokan ha anche detto che il problema era aggirabile immergendo lo spazio metrcico considerato in uno più grande....domanda 8:
8) quando si fa una operazione del genere, nello spazio metrico più grande resta sempre definita la metrica dello spazio metrico più piccolo che abbiamo ampliato? può succedere che questa metrica non sia tale anche per lo spazio più grande?
inoltre, stando alla definizione di successione di cauchy gentilmente fornita da sandokan, nello stabilire se una successione è di cauchy o meno entra in gioco la metrica $d$...a questo punto domande 9 e 10:
9) tutto ciò significa che a seconda di qual'è la metrica che io definisco su un insieme $S$ una successione può essere o meno di cauchy? cioè, il fatto che sia una successione di cauchy dipende strettamente dalla metrica $d$ definita su $S$?
10) se ho una successione ma non ce l'ho in uno spazio metrico, questa può ugualmente essere di cauchy o è necessario metterla in uno spazio metrico perchè possa eventualmente esserlo?
dopo tutto questo, io ho sparato una successione $f_n$ e ho detto che per $n to +\infty$ questa diventava la funzione segno e l'esercizio era risolto....a ciò uber ha detto che bisognava dimostrare che quella successione era di cauchy...a questo punto le ultime domande:
11) se facendo il limite per $n \to +\infty$ di $f_n$ ottendgo l'espressione analitica $f$, è sufficiente per dire che $f$ è la funzione limite a cui $f_n$ converge?
12) sandokan ha detto che una successione di cauchy in un insieme $A$ può benissimo non essere convergente in $A$....una successione di cauchy che non è convergente in un insieme $A$ prima o poi converge a una certa funzione limite in un qualche insieme più ampio oppure può anche non convergere mai?
13) se anche dimostrassimo che la successione che ho sparato fuori è di cauchy, stante il fatto che sandokan ha detto che una successione di cauchy può anche non convergere, allora non abbiamo anche dimostrato che quella successione da qualche parte è convergente...quindi a cosa ci serve dimostrare che è una successione di cauchy?
spero di non avervi annoiato
ciao
altro che annoiato!! hai tirato fuori argomenti sottilissimi ai quali sono lieto di risponderti. Fortunatamente hai numerato le domande, altrimenti sarei impazzito a cercare i pezzi da quotare, separarli ecc...
Veniamo a noi
1) le due definizioni sono certamente equivalenti. Puoi notare che nella prima (sandokan) si specifica subito il codominio della funzione $d$ come l'insieme dei reali non-negativi, mentre nella seconda (fioravante) questo codominio non si specifica subito, ma lo si richiede dopo come prima proprietà.
2) se ne possono definire quante ne vuoi. Inoltre, ogni insieme è dotabile di almeno una metrica, detta discreta, definita nella maniera seguente: $d(x,y)=1$ se $x\ney$, $d(x,x)=0$. Per esercizio puoi vedere che uno spazio con la metrica discreta è sempre completo (cioè in esso le successioni di Cauchy sono convergenti).
3) si: per spazio intendiamo l'insieme. La parola spazio invece di insieme serve solo a ricordare che abbiamo definito una nozione di metrica.
4) si possono definire anche successioni di funzioni in cui variano i domini. In questo caso però accontentiamoci di parlare di funzioni definite tutte sullo stesso dominio, che nel nostro caso è l'intervallo reale $[-1,1]$.
5) se l'insieme è non vuoto esiste almeno una successione di suoi elementi. Infatti, se $x$ è un elemento dell'insieme, allora è definita almeno la successione costantemente uguale ad $x$.
6) il tuo link non mi ha portato ad alcuna definizione... ti prego di linkarmelo meglio. Comunque posso scommettere qualche centinaio di euro che sono entrambe corrette, ma scritte forse in maniera diversa o riferite a contesti diversi. Infatti, e qui ci addentriamo in qualcosa di sottile, si può dare una nozione di convergenza senza avere una metrica che la induca. Preciso un attimo quello che voglio dire col termine "convergenza indotta da una metrica": sia $S$ un insieme su cui ho definito una metrica $d$. Allora do la definizione: $x_n->x$ se $d(x_n,x)->0$. Questa definizione di convergenza è detta "indotta dalla metrica". è però possibile dare definizioni di convergenza che non sono indotte da metriche (questa è topologia
). Ad esempio, consideriamo la definizione di convergenza puntuale di una successione di funzioni definite su $S$ (su cui è definita una metrica $d$):
$f_n->f$ se $\forall\varepsilon>0$ e $\forall x\in S$, esiste $m$ tale che $d(f_n(x),f(x))<\varepsilon,\forall n>m$
questa definizione di convergenza (che generalizza quella che ti avevo già dato) si appoggia sulla metrica già definita in $S$, ma non è indotta da una metrica definita sullo spazio delle funzioni su $S$. è per questo che qualche post fa ti ho detto che il tuo esempio andava abbastanza bene, ma ancora non era del tutto corretto, in quanto la convergenza che hai usato, oltre a non essere indotta dalla metrica $L^1$, non è nemmeno indotta da una metrica.
7) la definizione di spazio metrico completo è la seguente: uno spazio metrico $X$ è detto completo se ogni successione di Cauchy a valori in $X$, converge in $X$.
Ad esempio $R$ è completo (difficile!), ma $Q$ non è completo (vedi esempio di Sandokan), ma neanche $(0,1]$ è completo: ad esempio la successione $1/n$ è di Cauchy, ma non converge in $(0,1]$. Come ha già detto Sandokan, spesso è facile trattare la completezza quando si pensi uno spazio immerso in qualcosa di più grande e completo, come $QQ\subsetRR$ e $(0,1]\subset[0,1]$. In generale però non è facile trovare uno spazio completo che contenga un qualsiasi spazio di partenza... e quindi bisogna lavorare un pò più di fantasia.
8) Si può sempre fare e abbiamo sempre la stessa metrica... ti enuncio quello che si chiama "teorema del completamento"...
Teorema del Completamento
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico qualsiasi. Allora esiste uno spazio metrico completo $(Y,\delta)$ ed una funzione $i:X->Y$ tale che
1) $i$ è iniettiva e isometrica (cioè conserva le distanze, che significa appunto che possiamo vedere gli elementi di $X$ come elementi dentro $Y$ ed hanno esattamente la stessa distanza che avevano in $X$.
2) $Y$ è "in qualche maniera" il più piccolo spazio che verifica queste proprietà (perdonami ma non ti posso formalizzare questa proprietà... anche se.. se continuiamo di questo passo, ci arriveremo!)
3) lo spazio $Y$ è l'unico a verificare queste proprietà (unico significa a meno di isomorfismi isometrici, cioè di funzioni bijettive e che conservano le distanze)
9) certamente ... una successione può essere di Cauchy in una metrica e non di Cauchy in un'altra. Allo stesso modo uno spazio può essere completo rispetto ad una metrica, ma non completo rispetto ad un'altra. A titolo di curiosità ti dico allora che si introduce il seguente concetto
Def: due metriche $d_1$ e $d_2$ su $X$ sono dette uniformemente equivalenti se esistono due costanti $a,b>0$ tali che $ad_1(x,y)\led_2(x,y)\lebd_2(x,y)$. Vale il seguente
Th: Se $d_1$ e $d_2$ sono unif equivalenti, allora ogni successione di Cauchy rispetto a $d_1$ lo è anche rispetto a $d_2$. Inoltre, se $X$ è $d_1$-completo, allora è anche $d_2$-completo.
puoi farne la dimostrazione per esercizio.
Ovviamente se si introduce questa definizione significa che esistono effettivamente metriche che non sono uniformemente equivalenti. Effettivamente, se consideriamo le due seguenti metriche su $RR$:
$d_1(x,y)=|x-y|$ (questa è la metrica classica, detta euclidea)
$d_2(x,y)=|x/(1+|x|)-y/(1+|y|)|$
puoi tranquillamente verificare da solo che non sono equivalenti. Inoltre, se prendi la successione $x_n=n$ questa non è di Cauchy rispetto a $d_1$, ma lo è rispetto a $d_2$. Inoltre $RR$ è completo rispetto a $d_1$ (dimostrazione difficile, già detto!), ma non rispetto a $d_2$, infatti la successione che ho scritto è di CAuchy, ma non converge.
10) Ora stiamo esagerando con l'astrazione... accontentati di successioni di Cauchy su uno spazio metrico... si possono fare teorie più generali, ma senza topologia... l'idea è che una successione di Cauchy è una successione i cui elementi si infittiscono sempre più... questo concetto di infittimento si può formalizzare con la metrica, appunto imponendo che la distanza diventi sepre più piccola... ora la domanda è: si può formalizzare il concetto di infittimento senza usare la metrica? La risposta è: dipende!
11) innanzitutto ti consiglio di non usare la parola "analitica" riferita alle funzioni, in quanto, nonostante quello che ti hanno insegnato al liceo, essa significa qualcosa di molto preciso e che ancora non conosci. Comunque la risposta a quello che dici è: no! riprendiamo l'esempio della successione del punto 9) $x_n=n$ (abbiamo a che fare con successioni di punti, anzichè di funzioni, ma è la stessa cosa!) se passi al limite direttamente, allora trovi $\infty$, eppure nella metrica $d_2$ ti ho accennato che quella successione è di Cauchy, quindi limitata (Cauchy implica limitatezza: dimostrarlo!) e quindi certamente non può tendere a $\infty$.
Quello che bisogna fare in generale è lavorare con la metrica che si è definita.
12) la risposta a questa domanda è molto difficile, ma a questo punto ce l'abbiamo in quanto ti ho enunciato il teorema del completamento: prendi la tua successione di Cauchy in $A$, immergila nel completamento di $A$, essa rimane di Cauchy in quanto l'immersione è isometrica, dunque in questo completamento converge, ma il limite in generale non sta in $A$, ma appunto nel suo completamento.
13) infatti quello che ci interessa è dimostrare che è di Cauchy, ma che non converge in $C^0[-1,1]$ ... che poi converge in qualche altra parte che si chiama $L^1[-1,1]$ chi se ne frega!
buon lavoro!
Veniamo a noi
1) le due definizioni sono certamente equivalenti. Puoi notare che nella prima (sandokan) si specifica subito il codominio della funzione $d$ come l'insieme dei reali non-negativi, mentre nella seconda (fioravante) questo codominio non si specifica subito, ma lo si richiede dopo come prima proprietà.
2) se ne possono definire quante ne vuoi. Inoltre, ogni insieme è dotabile di almeno una metrica, detta discreta, definita nella maniera seguente: $d(x,y)=1$ se $x\ney$, $d(x,x)=0$. Per esercizio puoi vedere che uno spazio con la metrica discreta è sempre completo (cioè in esso le successioni di Cauchy sono convergenti).
3) si: per spazio intendiamo l'insieme. La parola spazio invece di insieme serve solo a ricordare che abbiamo definito una nozione di metrica.
4) si possono definire anche successioni di funzioni in cui variano i domini. In questo caso però accontentiamoci di parlare di funzioni definite tutte sullo stesso dominio, che nel nostro caso è l'intervallo reale $[-1,1]$.
5) se l'insieme è non vuoto esiste almeno una successione di suoi elementi. Infatti, se $x$ è un elemento dell'insieme, allora è definita almeno la successione costantemente uguale ad $x$.
6) il tuo link non mi ha portato ad alcuna definizione... ti prego di linkarmelo meglio. Comunque posso scommettere qualche centinaio di euro che sono entrambe corrette, ma scritte forse in maniera diversa o riferite a contesti diversi. Infatti, e qui ci addentriamo in qualcosa di sottile, si può dare una nozione di convergenza senza avere una metrica che la induca. Preciso un attimo quello che voglio dire col termine "convergenza indotta da una metrica": sia $S$ un insieme su cui ho definito una metrica $d$. Allora do la definizione: $x_n->x$ se $d(x_n,x)->0$. Questa definizione di convergenza è detta "indotta dalla metrica". è però possibile dare definizioni di convergenza che non sono indotte da metriche (questa è topologia
). Ad esempio, consideriamo la definizione di convergenza puntuale di una successione di funzioni definite su $S$ (su cui è definita una metrica $d$):$f_n->f$ se $\forall\varepsilon>0$ e $\forall x\in S$, esiste $m$ tale che $d(f_n(x),f(x))<\varepsilon,\forall n>m$
questa definizione di convergenza (che generalizza quella che ti avevo già dato) si appoggia sulla metrica già definita in $S$, ma non è indotta da una metrica definita sullo spazio delle funzioni su $S$. è per questo che qualche post fa ti ho detto che il tuo esempio andava abbastanza bene, ma ancora non era del tutto corretto, in quanto la convergenza che hai usato, oltre a non essere indotta dalla metrica $L^1$, non è nemmeno indotta da una metrica.
7) la definizione di spazio metrico completo è la seguente: uno spazio metrico $X$ è detto completo se ogni successione di Cauchy a valori in $X$, converge in $X$.
Ad esempio $R$ è completo (difficile!), ma $Q$ non è completo (vedi esempio di Sandokan), ma neanche $(0,1]$ è completo: ad esempio la successione $1/n$ è di Cauchy, ma non converge in $(0,1]$. Come ha già detto Sandokan, spesso è facile trattare la completezza quando si pensi uno spazio immerso in qualcosa di più grande e completo, come $QQ\subsetRR$ e $(0,1]\subset[0,1]$. In generale però non è facile trovare uno spazio completo che contenga un qualsiasi spazio di partenza... e quindi bisogna lavorare un pò più di fantasia.
8) Si può sempre fare e abbiamo sempre la stessa metrica... ti enuncio quello che si chiama "teorema del completamento"...
Teorema del Completamento
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico qualsiasi. Allora esiste uno spazio metrico completo $(Y,\delta)$ ed una funzione $i:X->Y$ tale che
1) $i$ è iniettiva e isometrica (cioè conserva le distanze, che significa appunto che possiamo vedere gli elementi di $X$ come elementi dentro $Y$ ed hanno esattamente la stessa distanza che avevano in $X$.
2) $Y$ è "in qualche maniera" il più piccolo spazio che verifica queste proprietà (perdonami ma non ti posso formalizzare questa proprietà... anche se.. se continuiamo di questo passo, ci arriveremo!)
3) lo spazio $Y$ è l'unico a verificare queste proprietà (unico significa a meno di isomorfismi isometrici, cioè di funzioni bijettive e che conservano le distanze)
9) certamente ... una successione può essere di Cauchy in una metrica e non di Cauchy in un'altra. Allo stesso modo uno spazio può essere completo rispetto ad una metrica, ma non completo rispetto ad un'altra. A titolo di curiosità ti dico allora che si introduce il seguente concetto
Def: due metriche $d_1$ e $d_2$ su $X$ sono dette uniformemente equivalenti se esistono due costanti $a,b>0$ tali che $ad_1(x,y)\led_2(x,y)\lebd_2(x,y)$. Vale il seguente
Th: Se $d_1$ e $d_2$ sono unif equivalenti, allora ogni successione di Cauchy rispetto a $d_1$ lo è anche rispetto a $d_2$. Inoltre, se $X$ è $d_1$-completo, allora è anche $d_2$-completo.
puoi farne la dimostrazione per esercizio.
Ovviamente se si introduce questa definizione significa che esistono effettivamente metriche che non sono uniformemente equivalenti. Effettivamente, se consideriamo le due seguenti metriche su $RR$:
$d_1(x,y)=|x-y|$ (questa è la metrica classica, detta euclidea)
$d_2(x,y)=|x/(1+|x|)-y/(1+|y|)|$
puoi tranquillamente verificare da solo che non sono equivalenti. Inoltre, se prendi la successione $x_n=n$ questa non è di Cauchy rispetto a $d_1$, ma lo è rispetto a $d_2$. Inoltre $RR$ è completo rispetto a $d_1$ (dimostrazione difficile, già detto!), ma non rispetto a $d_2$, infatti la successione che ho scritto è di CAuchy, ma non converge.
10) Ora stiamo esagerando con l'astrazione... accontentati di successioni di Cauchy su uno spazio metrico... si possono fare teorie più generali, ma senza topologia... l'idea è che una successione di Cauchy è una successione i cui elementi si infittiscono sempre più... questo concetto di infittimento si può formalizzare con la metrica, appunto imponendo che la distanza diventi sepre più piccola... ora la domanda è: si può formalizzare il concetto di infittimento senza usare la metrica? La risposta è: dipende!
11) innanzitutto ti consiglio di non usare la parola "analitica" riferita alle funzioni, in quanto, nonostante quello che ti hanno insegnato al liceo, essa significa qualcosa di molto preciso e che ancora non conosci. Comunque la risposta a quello che dici è: no! riprendiamo l'esempio della successione del punto 9) $x_n=n$ (abbiamo a che fare con successioni di punti, anzichè di funzioni, ma è la stessa cosa!) se passi al limite direttamente, allora trovi $\infty$, eppure nella metrica $d_2$ ti ho accennato che quella successione è di Cauchy, quindi limitata (Cauchy implica limitatezza: dimostrarlo!) e quindi certamente non può tendere a $\infty$.
Quello che bisogna fare in generale è lavorare con la metrica che si è definita.
12) la risposta a questa domanda è molto difficile, ma a questo punto ce l'abbiamo in quanto ti ho enunciato il teorema del completamento: prendi la tua successione di Cauchy in $A$, immergila nel completamento di $A$, essa rimane di Cauchy in quanto l'immersione è isometrica, dunque in questo completamento converge, ma il limite in generale non sta in $A$, ma appunto nel suo completamento.
13) infatti quello che ci interessa è dimostrare che è di Cauchy, ma che non converge in $C^0[-1,1]$ ... che poi converge in qualche altra parte che si chiama $L^1[-1,1]$ chi se ne frega!
buon lavoro!
prima di immergermi in questa piacevolissima lettura...mi fa piacere che tu non sia annoiato....mo leggo...sperando che il pc non parta di nuovo che già si è spento 3 volta da solo da stamattina...speriamo non vada a farsi benedire anche la seconda ventola
nel frattempo ho corretto qualche erroruccio qua e là
http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_funzioni
ecco di nuovo il link per la domanda 6...spero funzioni...ci vuole un poco di tempo per caricarlo
ecco di nuovo il link per la domanda 6...spero funzioni...ci vuole un poco di tempo per caricarlo
la convergenza puntuale è quella che ho scritto io.. se scrivi esplicitamente la definizione di $limf_n(x)=f(x)$ trovi quella che ho scritto io... la convergenza uniforme è un'altra cosa ($varepsilon$ non deve dipendere da $x$)
quindi...con riferimento alla domanda 6 e al link che ti ho dato, non sarei in errore se dicessi che nel link la metrica su ci si poggia è $d(u,v)=|u-v|$ e questa metrica è già definita in $E$ (per insieme $E$ intendo quello della pagina del link)?
quindi, riassumendo....dato un insieme $S$ di funzioni, dopo aver costruito una successione di funzioni con le funzioni di questo insieme, la successione converge o meno in questo insieme $S$ a seconda di quale delle possibili metriche che definiamo su $S$ abbiamo intenzione di usare...presa una successione di funzioni, e scelta una metrica, per dimostrare che la successione costruita converge dentro o fuori $S$ con la metrica che abbiamo scelto per lavorare dobbiamo prima dimostrare che è di cauchy perchè tutte le successioni convergenti sono certamente di cauchy e di conseguenza se non è di cauchy allora è inutile che ci sbattiamo perhcè tanto non converge; dimostrato che è di cauchy ci sono due possibilità: o converge in $S$ o nel completamento di $S$....a questo punto dobbiamo far vedere che sicuramente non converge in $S$ (nel nostro caso particolare)
quanti errori?
quanti errori?
Per intervallare un po' la parte teorica propongo un esercizio :
Si consideri lo spazio $ C[0,1] $ munito della norma del massimo (norma di indice $oo$ così definita : $||f ||_(oo) =max_(t in[0,1] ) |f(t) | $ ) .
Controllare se è chiuso in tale spazio l'insieme costituito dalle funzioni $x(t) $ tali che :
a) $x(t) $ è derivabile in $t=1/2$ e $x'(1/2)=0 $ .
N.B. si tratta cioè di verificare se, data una successione $(x_n)$ convergente uniformememnte a una funzione limite $x(t)$, dal fatto che tutte le $(x_n)$ verificano una certa condizione [ nel caso nostro la a) ] segue (oppure no) che la stessa condizione è verificata dalla funzione limite $x(t) $ .
Si consideri lo spazio $ C[0,1] $ munito della norma del massimo (norma di indice $oo$ così definita : $||f ||_(oo) =max_(t in[0,1] ) |f(t) | $ ) .
Controllare se è chiuso in tale spazio l'insieme costituito dalle funzioni $x(t) $ tali che :
a) $x(t) $ è derivabile in $t=1/2$ e $x'(1/2)=0 $ .
N.B. si tratta cioè di verificare se, data una successione $(x_n)$ convergente uniformememnte a una funzione limite $x(t)$, dal fatto che tutte le $(x_n)$ verificano una certa condizione [ nel caso nostro la a) ] segue (oppure no) che la stessa condizione è verificata dalla funzione limite $x(t) $ .
"WiZaRd":
quindi, riassumendo....dato un insieme $S$ di funzioni, dopo aver costruito una successione di funzioni con le funzioni di questo insieme, la successione converge o meno in questo insieme $S$ a seconda di quale delle possibili metriche che definiamo su $S$ abbiamo intenzione di usare...presa una successione di funzioni, e scelta una metrica, per dimostrare che la successione costruita converge dentro o fuori $S$ con la metrica che abbiamo scelto per lavorare dobbiamo prima dimostrare che è di cauchy perchè tutte le successioni convergenti sono certamente di cauchy e di conseguenza se non è di cauchy allora è inutile che ci sbattiamo perhcè tanto non converge; dimostrato che è di cauchy ci sono due possibilità: o converge in $S$ o nel completamento di $S$....a questo punto dobbiamo far vedere che sicuramente non converge in $S$ (nel nostro caso particolare)
quanti errori?
Innanzitutto complimenti per l'interesse e la perspicacia che stai dimostrando!
C'e' solo un punto che mi sembra non ti sia chiaro: per dimostrare che uno spazio $S$ e' completo, non ci interessa far vedere che ogni successione in $S$ converge! Dobbiamo solo far vedere che ogni successione di Cauchy converge in $S$. Quindi, se invece vogliamo far vedere che $S$ non e' completo, dobbiamo dimostrare che esiste almeno una successione in $S$ che sia di Cauchy senza essere convergente, non che esistono successioni non convergenti.
Spero di essere stato chiaro!
A proposito, ho risposto al tuo post nella sezione Orientamente Universitario, forse ti e' sfuggito.
per sandokan: per qaunto riguarda il forum dell'orientamento univeristario, non lo tenevo in modalità "sotto controllo" e quindi non mi arrivavano le e-mail....preso dall'esercizio e dagli esami me ne ero dimenticato.....ringraziandoti, vedo che sei ben informato: ma vai alla federico 2?
quanto all'esercizio io fino ad ora ho capito questo: dato un insieme $S$ di funzioni, data una metrica $d$ e costruita una successione di funzioni $f_n$, la successione $f_n$ converge in $S$ o converge fuori da $S$ o non converge proprio (a proposito: è possibile che non converga proprio? penso di sì, basta che non sia di cauchy) a seconda di come batteziamo la metrica: cioè con una metrica converge dentro e con un altra potrebbe convergere fuori oppure poptrebbe non convergere proprio...poi ho capito che se converge, indipendetemente da dove converge, se nell'insieme di partenza o nel suo ampliamento non ha importanza, la successione è sicuramente di cauchy....applicando questo al nostro esercizio dobbiamo inventarci una successione che ci permetta di lavorarci sopra con la metrica $d$ che sandokan ha creato (quindi la dobbiamo creare continua in $[-1,1]$), che sia di cauchy con quella metrica (e questo lo dobbiamo dimostrare) e che converga fuori da $S$ (e pure questo è da dimostrare)......
era questo che volevo dire nel post precedente quello di camillo...forse adesso è più facile capire per voi cosa non sto capendo io...fatemi sapere
ciao
quanto all'esercizio io fino ad ora ho capito questo: dato un insieme $S$ di funzioni, data una metrica $d$ e costruita una successione di funzioni $f_n$, la successione $f_n$ converge in $S$ o converge fuori da $S$ o non converge proprio (a proposito: è possibile che non converga proprio? penso di sì, basta che non sia di cauchy) a seconda di come batteziamo la metrica: cioè con una metrica converge dentro e con un altra potrebbe convergere fuori oppure poptrebbe non convergere proprio...poi ho capito che se converge, indipendetemente da dove converge, se nell'insieme di partenza o nel suo ampliamento non ha importanza, la successione è sicuramente di cauchy....applicando questo al nostro esercizio dobbiamo inventarci una successione che ci permetta di lavorarci sopra con la metrica $d$ che sandokan ha creato (quindi la dobbiamo creare continua in $[-1,1]$), che sia di cauchy con quella metrica (e questo lo dobbiamo dimostrare) e che converga fuori da $S$ (e pure questo è da dimostrare)......
era questo che volevo dire nel post precedente quello di camillo...forse adesso è più facile capire per voi cosa non sto capendo io...fatemi sapere
ciao
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