Un esercizio per maturandi
Segnalo un interessante esercizio, peraltro sicuramente alla portata di uno studente del V anno.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Prima una definizione (che credo comunque si nota a tutti):
Dato un insieme $S$, una funzione $d : S \times S \rightarrow [0, + \infty[$ si dice una metrica su $S$ se sono soddisfatte le proprieta' seguenti:
1) $d (x, y) = 0 \iff x = y$, $\forall x, y$
2) $d (x, y) = d (y, x)$, $\forall x, y$
3) $d (x, z) <= d (x, y) + d (y, z)$, $\forall x, y, z$.
Bene!
Dimostrare che posto $d (u, v) = \int_{-1}^{1} | u (x) - v (x) | dx$, $d$ e' una metrica sull'insieme delle funzioni reali continue su $[-1, 1]$.
Risposte
"WiZaRd":
per il P.S. penso che la risposta sia che entrambe le cose sono vere ma non so come dimostrarlo
Non entrambe...
vediamo un poco...
siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti e sia $A cap B$ la loro intersezione; possono verificarsi due cose:
1) $A cap B=emptyset$
2) $A cap B=C$ ove $C$ è non vuoto
nel caso 1) non ha senso chiedersi se l'insieme intersezione ha elementi in numero finito o infinito perchè per definizione di insieme vuoto non ne ha proprio; nel caso 2) invece
caso a) se $A$ e $B$ hanno entrambi un numero finito di elementi allora l'intersezione deve averne anch'essa in numero finito (se si supponesse il contrario allora si andrebbe contro l'ipotesi stessa, cioè contro il fatto che $A$ e $B$ sono entrambi finiti)
caso b) se $A$ e $B$ hanno entrambi un numero infinito di elementi allora la loro intersezione può essere sia finita che infinita (dipende da come vengono "battezzati" $A$ e $B$): infatti, se, per esempio, prendiamo $A={mbox { numeri pari }}$ e $B={ mbox { numeri primi }}$ allora la loro intersezione è finita ed è, in particolare, $A cap B={2}$
caso c) se uno dei due ha un numro finito di elementi allora anche l'intersezione ha un numero finito di elementi: se così non fosse allora quello che è finito diventerebbe infinito contrariamente alla sua costruzione
siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti e sia $A cup B$ la loro unione: poichè l'insieme unione "mette assieme i due insiemi" se anche uno solo dei due insimi ha un numero infinito di elementi allora anche l'unione ne conta infiniti quindi entrambi devono avere un numero finito di elementi
queste considerazioni sono giuste?
P.S. il numero di elementi di un insieme si chiama cardinalità?
P.P.S. se le considerazioni che ho fatto non sono sbagliate, come si può formalizzare il tutto (anche per quanto concerne la dimostrazione)?
siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti e sia $A cap B$ la loro intersezione; possono verificarsi due cose:
1) $A cap B=emptyset$
2) $A cap B=C$ ove $C$ è non vuoto
nel caso 1) non ha senso chiedersi se l'insieme intersezione ha elementi in numero finito o infinito perchè per definizione di insieme vuoto non ne ha proprio; nel caso 2) invece
caso a) se $A$ e $B$ hanno entrambi un numero finito di elementi allora l'intersezione deve averne anch'essa in numero finito (se si supponesse il contrario allora si andrebbe contro l'ipotesi stessa, cioè contro il fatto che $A$ e $B$ sono entrambi finiti)
caso b) se $A$ e $B$ hanno entrambi un numero infinito di elementi allora la loro intersezione può essere sia finita che infinita (dipende da come vengono "battezzati" $A$ e $B$): infatti, se, per esempio, prendiamo $A={mbox { numeri pari }}$ e $B={ mbox { numeri primi }}$ allora la loro intersezione è finita ed è, in particolare, $A cap B={2}$
caso c) se uno dei due ha un numro finito di elementi allora anche l'intersezione ha un numero finito di elementi: se così non fosse allora quello che è finito diventerebbe infinito contrariamente alla sua costruzione
siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti e sia $A cup B$ la loro unione: poichè l'insieme unione "mette assieme i due insiemi" se anche uno solo dei due insimi ha un numero infinito di elementi allora anche l'unione ne conta infiniti quindi entrambi devono avere un numero finito di elementi
queste considerazioni sono giuste?
P.S. il numero di elementi di un insieme si chiama cardinalità?
P.P.S. se le considerazioni che ho fatto non sono sbagliate, come si può formalizzare il tutto (anche per quanto concerne la dimostrazione)?
Quello che hai scritto e' corretto, anche se non del tutto rigoroso...
Per quanto riguarda l'intersezione, valgono i due risultati seguenti:
1) se $A$ e $B$ sono insiemi, allora $A \cap B \subseteq A$ e $A \cap B \subseteq B$ (banale)
2) se $A$ e $B$ sono insiemi, $A \subseteq B$ e $B$ e' finito, allora anche $A$ e' finito
Pertanto l'intersezione di due insiemi e' finita se uno dei due insiemi e' finito. Come hai osservato giustamente, questa condizione e' sufficiente ma non necessaria.
Quanto all'unione, si ha dualmente:
1') se $A$ e $B$ sono insiemi, allora $A \subseteq A \cup B$ e $B \subseteq A \cap B$ (banale)
2') se $A$ e $B$ sono insiemi, $A \subseteq B$ e $A$ e' infinito, allora anche $B$ e' infinito
Ne segue che l'unione di due insiemi e' infinita se uno dei due insiemi e' infinito. Questa condizione e' anche necessaria, in quanto l'unione di due insiemi finiti e' finita.
La dimostrazione dei punti 2) e 2') e' molto facile, pero' bisogna prima dire rigorosamente cosa si intende quando si parla di ''insieme finito'' o ''insieme infinito''.
Infine, per il PS, la questione della cardinalita' di un insieme non e' del tutto immediata come un approccio ingenuo al problema lascerebbe supporre. Grosso modo questa nozione traduce in termini rigorosi il concetto intuitivo di ''numerosita''' di un insieme (quindi quello che dici e' giusto) pero' tieni presente che quando si ha che fare con insiemi infiniti il ''risultato'' a cui si giunge quando si ''contano'' gli elementi dipende dall'ordine in cui li si conta (ammesso che abbia senso parlare di ordine)...
Piu' facile e' tradurre in termini rigorosi la frase ''due insiemi hanno gli stessi elementi'': due insiemi $A$ e $B$ si dicono equipotenti se esiste una biezione tra $A$ e $B$. Dimostriamo a questo proposito il seguente
TEOREMA (Cantor) Dato un insieme $A$, $A$ non e' equipotente a $\mathcal P(A)$.
Dim. Sia $h$ un'applicazione di $A$ in $\mathcal P(A)$, e sia $B = { x \in A | x \notin h(x) }$. Per assurdo esista $b \in A$ tale che $B = h(b)$; allora o $b \in B$ oppure $b \notin B$. Se $b \in B$, allora $b \notin h(b) = B$; se $b \notin B$, allora $b \in h(b) = B$. Da tale contraddizione segue che $h$ non e' suriettiva. CVD
Per quanto riguarda l'intersezione, valgono i due risultati seguenti:
1) se $A$ e $B$ sono insiemi, allora $A \cap B \subseteq A$ e $A \cap B \subseteq B$ (banale)
2) se $A$ e $B$ sono insiemi, $A \subseteq B$ e $B$ e' finito, allora anche $A$ e' finito
Pertanto l'intersezione di due insiemi e' finita se uno dei due insiemi e' finito. Come hai osservato giustamente, questa condizione e' sufficiente ma non necessaria.
Quanto all'unione, si ha dualmente:
1') se $A$ e $B$ sono insiemi, allora $A \subseteq A \cup B$ e $B \subseteq A \cap B$ (banale)
2') se $A$ e $B$ sono insiemi, $A \subseteq B$ e $A$ e' infinito, allora anche $B$ e' infinito
Ne segue che l'unione di due insiemi e' infinita se uno dei due insiemi e' infinito. Questa condizione e' anche necessaria, in quanto l'unione di due insiemi finiti e' finita.
La dimostrazione dei punti 2) e 2') e' molto facile, pero' bisogna prima dire rigorosamente cosa si intende quando si parla di ''insieme finito'' o ''insieme infinito''.
Infine, per il PS, la questione della cardinalita' di un insieme non e' del tutto immediata come un approccio ingenuo al problema lascerebbe supporre. Grosso modo questa nozione traduce in termini rigorosi il concetto intuitivo di ''numerosita''' di un insieme (quindi quello che dici e' giusto) pero' tieni presente che quando si ha che fare con insiemi infiniti il ''risultato'' a cui si giunge quando si ''contano'' gli elementi dipende dall'ordine in cui li si conta (ammesso che abbia senso parlare di ordine)...
Piu' facile e' tradurre in termini rigorosi la frase ''due insiemi hanno gli stessi elementi'': due insiemi $A$ e $B$ si dicono equipotenti se esiste una biezione tra $A$ e $B$. Dimostriamo a questo proposito il seguente
TEOREMA (Cantor) Dato un insieme $A$, $A$ non e' equipotente a $\mathcal P(A)$.
Dim. Sia $h$ un'applicazione di $A$ in $\mathcal P(A)$, e sia $B = { x \in A | x \notin h(x) }$. Per assurdo esista $b \in A$ tale che $B = h(b)$; allora o $b \in B$ oppure $b \notin B$. Se $b \in B$, allora $b \notin h(b) = B$; se $b \notin B$, allora $b \in h(b) = B$. Da tale contraddizione segue che $h$ non e' suriettiva. CVD
"Sandokan.":
Piu' facile e' tradurre in termini rigorosi la frase ''due insiemi hanno gli stessi elementi'': due insiemi $A$ e $B$ si dicono equipotenti se esiste una biezione tra $A$ e $B$. Dimostriamo a questo proposito il seguente
perdona la mia confusione ma se due insiemi hanno gli stessi elementi non sono lo stesso insieme?
Hai ragione, e' stato un lapsus calami, volevo dire ''hanno lo stesso numero di elementi"! 
ok 
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